1.5-bo'lim : Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
10. \(\left[ {0,5} \right]\) da joylashgan \(\displaystyle 0 = 18 + 2\csc \left( {\frac{t}{3}} \right)\) yechimini toping. Ishingizda kamida 4 kasrdan foydalaning.
Yechim
Kosekantni (bir koeffitsient bilan) tenglamaning bir tomonida ajratib olish,
\[\csc \left( {\frac{t}{3}} \right) = - 9\]2-qadam
Yechimlarni olish uchun kosekantning sinus bo'yicha ta'rifini eslab qolish va tenglamani sinus ishtirokida bittaga qayta yozish ancha oson bo'ladi. Shunday qilib,
\[\csc \left( {\frac{t}{3}} \right) = \frac{1}{{\sin \left( {\frac{t}{3}} \right)}} = - 9\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sin \left( {\frac{t}{3}} \right) = - \frac{1}{9}\]Sinus ishtirokidagi tenglamaning yechimi(lari) kosekant ishtirokidagi tenglamaning yechim(lari) bilan bir xil, shuning uchun u bilan ishlash osonroq bo'ladi. Kalkulyatorimiz yordamida biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\frac{t}{3} = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{1}{9}} \right) = - 0.1113\]Endi biz bu muammoda sinus bilan shug‘ullanmoqdamiz va biz \(y\) o‘qi birlik aylanada sinusni ifodalashini bilamiz va shuning uchun biz \( - \frac{1}{9}\) ning \(y\) koordinatasiga ega bo‘lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz to'rtinchi (bu bizning kalkulyatorimiz bergan) va uchinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz. Mana bu holat uchun birlik doirasi.
Birlik doirasining simmetriyasidan biz ikkinchi burchak manfiy \(x\) o'qi bilan 0,1113 burchak hosil qilishini va shuning uchun ikkinchi burchak \(\pi + 0.1113 = 3.2529\) bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Shuningdek, birinchi burchakni ifodalovchi musbat burchak ustidagi birlik aylanasida qayd etilganidek (i.e. to'rtinchi kvadrantdagi burchak) \(2\pi - 0.1113 = 6.1719\). Bu erda biz ijobiy yoki salbiy burchakdan foydalanishimiz mumkin va biz bir xil echimlarni olamiz. Biroq, ko'pincha minus belgilarini yo'qotish oson bo'lganligi sababli, biz bu erda ishimiz uchun to'rtinchi kvadrantdagi musbat burchakdan foydalanamiz.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\( + \,2\pi n\) for \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[\frac{t}{3} = 3.2529 + 2\pi n\hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in}\frac{t}{3} = 6.1719 + 2\pi n\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 3 ga ko'paytirish kifoya qiladi va biz oxirgi bosqichda yordam berish uchun hamma narsani o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[\begin{align*}t & = 9.7587 + 6\pi n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & t = 18.5157 + 6\pi n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ & = 9.7587 + 18.8496n & \hspace{0.25in}{\mbox{OR }}\hspace{0.25in} & \hspace{0.10in} = 18.5157 + 18.8496n\hspace{0.25in} & n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]4-qadam
Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarga ega bo'lamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shuni ham yodda tutingki, agar biz \(n = 0\) bilan boshlasak ham, berilgan oraliqdan chiqib ketgan yechimlarni olamiz.
Shunday qilib, bu tenglamaning yechimlari mavjud bo'lishiga qaramay, ularning hech biri berilgan intervalga to'g'ri kelmaydi va shunday bo'ladi. yechimlar yo'q bu tenglamaga. Bu erda javobdan hayajonlanmang. Bunday vaziyat vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, shuning uchun biz bundan xabardor bo'lishimiz va u bilan kurashishimiz kerak.