Bu erda birinchi burchakni olish uchun sinus va kosinus nuqtai nazaridan tangensning ta'rifini eslaylik.

\[\tan \left( {\frac{t}{4}} \right) = \frac{{\sin \left( {{\textstyle{t \over 4}}} \right)}}{{\cos \left( {{\textstyle{t \over 4}}} \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Endi, biz joylashgan bo'lim tufayli biz burchak "standart" burchaklardan biri bo'lishi kerakligini bilamiz va birlik doiraga (quyida ko'rsatilgan) tezkorlik bilan qarashimizdan ma'lumki, \(\frac{\pi }{6}\) uchun bizda:

\[\frac{\sin \left( \tfrac{\pi }{6} \right)}{\cos \left( \tfrac{\pi }{6} \right)}=\frac{{}^{1}/{}_{2}}{{}^{\sqrt{3}}/{}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Shunday qilib, agar biz tangensda ijobiy qiymatga ega bo'lsak, biz birinchi burchakka ega bo'lardik. Biroq, bizda salbiy qiymat bor, ammo bu ish bizga ikkita burchakka erishishga imkon beradi. Qiymat manfiy bo'lgani uchun bu shunchaki sinus va kosinus \(\frac{\pi }{6}\) uchun mavjud bo'lgan qiymatlarga ega bo'lishi kerakligini anglatadi, faqat bittasi ijobiy, ikkinchisi salbiy bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, biz kutayotgan burchaklar ikkinchi va to'rtinchi kvadrantlarda bo'lishi kerak. Mana bu holat uchun birlik doirasi.

Asosiy simmetriyaga ko'ra, ikkinchi kvadrantdagi burchak uchun terminal chizig'i manfiy \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchagini tashkil qilishi kerak va to'rtinchi kvadrantdagi terminal chizig'i yuqorida ko'rsatilgandek musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchagini hosil qilishi kerak. Ikkinchi kvadrantdagi burchak quyidagicha bo'ladi: \(\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6}\), to'rtinchi kvadrantdagi burchak esa \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\) bo'ladi.

E'tibor bering, ikkinchisi uchun sizga ijobiy burchak kerak emas. Agar xohlasangiz, ikkinchi burchak uchun \( - \frac{\pi }{6}\) dan osongina foydalanishingiz mumkin edi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q va siz oxir-oqibat bir xil echimlarni olasiz. Ijobiy burchak bilan borishni tanlaganimizning sababi, kelajakda biron bir nuqtada ikkinchi yechimdagi minus belgisini tasodifan yo'qotmaslikdir. Ba'zida bunday xatoga yo'l qo'yish oson va bu erda ijobiy burchaklardan foydalangan holda biz buni qilish haqida tashvishlanishga hojat yo'q.

Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,

\[\frac{t}{4} = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} \frac{t}{4} = \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 4 ga ko'paytirish kifoya.

\[t = \frac{{10\pi }}{3} + 8\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} t = \frac{{22\pi }}{3} + 8\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 3 ga teng bo'lganligi sababli intervalni maxrajlari 3 ga teng bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.

\[\left[ {0,4\pi } \right] = \left[ {0,\frac{{12\pi }}{3}} \right]\]

Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz maxraji 3 ga teng bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa sanoqlarni solishtirishdir. Numeratorlar ijobiy va \(12\pi \) dan kichik bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.

Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 3 bo'lishi ancha oson bo'ladi. Shunday qilib, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.

\[t = \frac{{10\pi }}{3} + \frac{{24\pi n}}{3} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} t = \frac{{22\pi }}{3} + \frac{{24\pi n}}{3} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Keyin e'tibor bering, har qanday ijobiy \(n\) uchun biz \(\frac{{24\pi }}{3}\) ni ijobiy miqdorga qo'shamiz va shuning uchun \(\frac{{12\pi }}{3}\) dan kattaroq bo'lishi kafolatlanadi va shuning uchun berilgan intervaldan tashqarida bo'ladi. Bu \(n = 0\) ni qoldiradi va buning uchun biz berilgan oraliqda tushadigan yagona yechim shundan iboratligini ko'rishimiz mumkin,

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{10\pi }}{3}}}\]

Ushbu muammoni tark etishdan oldin shuni ta'kidlaymizki, ba'zida biz berilgan oraliqda bo'ladigan barcha mumkin bo'lgan echimlardan faqat bitta yechimni olamiz. Shuning uchun, agar bu sodir bo'lsa, bundan hayajonlanmang.