Agar tangens 1 qiymatiga ega bo'lsa, biz sinus va kosinus bir xil bo'lishi kerakligini bilamiz. Bu shuni anglatadiki, birinchi kvadrantda yechim \(\frac{\pi }{4}\). Biz, shuningdek, uchinchi kvadrantda sinus va kosinus bir xil bo'lishini bilamiz va bu qiymatni aniqlash uchun birlik doiramizdagi asosiy simmetriyadan foydalanishimiz mumkin. Mana bu holat uchun birlik doirasi.

Asosiy simmetriyaga ko'ra, ikkinchi burchak uchun chiziq terminal chizig'i yuqorida ko'rsatilgandek manfiy \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{4}\) burchak hosil qilishi kerakligini ko'rishimiz mumkin va shunday bo'ladi: \(\pi + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4}\).

Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,

\[2x = \frac{\pi }{4} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} 2x = \frac{{5\pi }}{4} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 2 ga bo'lish kifoya.

\[x = \frac{\pi }{8} + \pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{5\pi }}{8} + \pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 8 ga teng bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 8 bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.

\[\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right] = \left[ { - \frac{{4\pi }}{8},\frac{{12\pi }}{8}} \right]\]

Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz 8 maxrajga ega bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa sanoqlarni solishtirishdir. Agar suratlar \( - 4\pi \) va \(12\pi \) o'rtasida bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.

Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 8 ga teng bo'lishi ancha oson bo'ladi. Demak, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.

\[x = \frac{\pi }{8} + \frac{{8\pi n}}{8} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{8\pi n}}{8} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Endi barcha echimlarni topamiz.

\[\begin{array}{llcl}{n = - 1:} & {x = \require{cancel} \xcancel{{ - \frac{{7\pi }}{8}}} < - \frac{{4\pi }}{8}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = - \frac{{3\pi }}{8}}\\ {n = 0:} & {x = \frac{\pi }{8}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \frac{{5\pi }}{8}}\\ {n = 1:} & {x = \frac{{9\pi }}{8}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \xcancel{{\frac{{13\pi }}{8}}} > \frac{{12\pi }}{8}}\end{array}\]

Davom etishdan oldin bir nechta narsani e'tiborga olishimiz kerak. Birinchidan, \(n\) ning ma'lum qiymatidan ikkala yechim ham berilgan intervalda bo'lishi shart emasligini tushunish muhimdir. Bu muammo ko'rsatganidek, biz \(n\) ning berilgan qiymatidan faqat u yoki bu yechimni berilgan intervalga tushishimiz mumkin.

E'tibor bering, \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalardan yana bir \(\frac{{8\pi }}{8}\) ni qo'shdik (\(n\) belgisiga qarab) va tez tekshirish orqali \(8\pi \) ni \(n = 1\) numeratoriga qo'shish \(n = 1\) numeratoriga \(8\pi \) ni qo'shish \(n\) ning belgisiga ko'ra \(\frac{{8\pi }}{8}\) ni qo'shishni ko'rishimiz mumkin edi. oraliqdan tashqarida bo'lgan yechimlarga olib keladi. Xuddi shunday, \(8\pi \) ni \(n = - 1\) yechimlaridan ayirish \( - 4\pi \) dan kichikroq numeratorlarga olib keladi va shuning uchun yechimlar intervaldan tashqarida bo'ladi. Shuning uchun, bu erda keltirilgan \(n\) qiymatlaridan o'tish uchun hech qanday sabab yo'q.

Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - \frac{{3\pi }}{8},\,\,\frac{\pi }{8},\,\,\frac{{5\pi }}{8},\,\,\frac{{9\pi }}{8}}}\]