Biz bu muammoda sinus bilan ishlayotganimiz va \(y\) o'qi birlik aylanada sinusni ifodalashini bilamiz, biz \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ning \(y\) koordinatasiga ega bo'lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz uchinchi va to'rtinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz.

Salbiy qiymat tufayli biz birinchi kvadrantda mos keladigan burchakni topa olmaymiz va ikkinchi burchakni topish uchun undan foydalanamiz. Biroq, bizga kerak bo'lgan ikkita burchakni topish uchun birinchi kvadrantdagi burchaklardan foydalanishimiz mumkin. Mana bu holat uchun birlik doirasi.

Agar bizda salbiy qiymat bo'lmasa, burchak \(\frac{\pi }{3}\) bo'ladi. Endi, birlik aylanasidagi simmetriyaga asoslanib, birinchi burchak uchun terminal chizig'i manfiy \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{3}\) burchagini va ikkinchi burchak uchun musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{3}\) burchagini hosil qiladi. Keyin uchinchi kvadrantdagi burchak \(\pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3}\), to'rtinchi kvadrantdagi burchak esa \(2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{{5\pi }}{3}\) bo'ladi.

E'tibor bering, ikkinchisi uchun sizga ijobiy burchak kerak emas. Agar xohlasangiz, ikkinchi burchak uchun \( - \frac{\pi }{3}\) dan osongina foydalanishingiz mumkin edi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q va siz oxir-oqibat bir xil echimlarni olasiz. Ijobiy burchak bilan borishni tanlaganimizning sababi, kelajakda biron bir nuqtada ikkinchi yechimdagi minus belgisini tasodifan yo'qotmaslikdir. Ba'zida bunday xatoga yo'l qo'yish oson va bu erda ijobiy burchaklardan foydalangan holda biz buni qilish haqida tashvishlanishga hojat yo'q.

Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lganimizdan so'ng, ularning har biriga "\( + \,2\pi n\) for \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,

\[\frac{{3y}}{2} = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} \frac{{3y}}{2} = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni \(\frac{2}{3}\) ga ko'paytirish kifoya.

\[y = \frac{{8\pi }}{9} + \frac{{4\pi n}}{3} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} y = \frac{{10\pi }}{9} + \frac{{4\pi n}}{3} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 9 ga teng bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 9 bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.

\[\left[ { - \frac{{7\pi }}{3},0} \right] = \left[ { - \frac{{21\pi }}{9},0} \right]\]

Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz 9 maxrajga ega bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa suratlarni solishtirishdir. Numeratorlar manfiy va \( - 21\pi \) dan katta bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.

Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 9 ga teng bo'lishi ancha oson bo'ladi. Shunday qilib, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.

\[y = \frac{{8\pi }}{9} + \frac{{12\pi n}}{9} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} y = \frac{{10\pi }}{9} + \frac{{12\pi n}}{9} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning ijobiy qiymatlarini yoki nolga kiritsak, biz ijobiy echimlarga ega bo'lamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = - 1\) dan boshlaylik va biz nimani qo'lga kiritamiz.

\[\begin{array}{llcl}{n = - 1:}&{y = - \frac{{4\pi }}{9}\,}&{\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,}&{y = - \frac{{2\pi }}{9}}\\ {n = - 2:}&{y = - \frac{{16\pi }}{9}\,}&{\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,}&{y = - \frac{{14\pi }}{9}}\end{array}\]

E'tibor bering, \(n\) dagi har bir o'sish (baribir salbiy ma'noda) bilan biz avvalgi natijalardan yana bir \(\frac{{12\pi }}{9}\) ni ayirdik va tezkor tekshirish natijasida biz \(n = - 2\) yechimlaridagi har bir raqamdan \(12\pi \)ni ayirish bilan suratlar MATHBLOCK39 dan kam bo'lishini ko'rishimiz mumkin edi. \(n = - 3\) yechimlarini yozish uchun hech qanday sabab yo'q, chunki ular berilgan intervalda bo'lmasligini bilamiz.

Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{y = - \frac{{16\pi }}{9},\,\, - \frac{{14\pi }}{9},\,\, - \frac{{4\pi }}{9},\,\, - \frac{{2\pi }}{9}}}\]