1.4-bo'lim : Trig tenglamalarini yechish
5. Kalkulyatordan foydalanmasdan \(\displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]\) da bo'lgan \(4\cos \left( {6z} \right) = \sqrt {12} \) yechimini toping.
Yechim
Kosinusni (bir koeffitsient bilan) tenglamaning bir tomonida ajratib olish,
\[\cos \left( {6z} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]E'tibor bering, biz qiymatni yanada taniqli shaklga keltirish uchun ildizni biroz soddalashtirishimiz kerak edi. Bunday soddalashtirish odatda yaxshi ishdir.
2-qadam
Biz bu muammoda kosinus bilan ishlayotganimiz va \(x\) o'qi birlik doiradagi kosinusni ifodalashini bilamiz, biz \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ning \(x\) koordinatasiga ega bo'lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz birinchi kvadrantda burchakka va to'rtinchi kvadrantda burchakka ega bo'lamiz (buni topish uchun birinchi kvadrantdagi burchakdan foydalanishimiz mumkin). Mana bu holat uchun birlik doirasi.
Shubhasiz, birinchi kvadrantdagi burchak \(\frac{\pi }{6}\) va ba'zi bir asosiy simmetriyaga ko'ra, ikkinchi burchak uchun terminal chizig'i yuqorida ko'rsatilganidek, \(x\) musbat o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchak hosil qilishi kerakligini ko'rishimiz mumkin va shunday bo'ladi: \(2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\).
E'tibor bering, ikkinchisi uchun sizga ijobiy burchak kerak emas. Agar xohlasangiz, ikkinchi burchak uchun \( - \frac{\pi }{6}\) dan osongina foydalanishingiz mumkin edi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q va siz oxir-oqibat bir xil echimlarni olasiz. Ijobiy burchak bilan borishni tanlaganimizning sababi, kelajakda biron bir nuqtada ikkinchi yechimdagi minus belgisini tasodifan yo'qotmaslikdir. Ba'zida bunday xatoga yo'l qo'yish oson va bu erda ijobiy burchaklardan foydalangan holda biz buni qilish haqida tashvishlanishga hojat yo'q.
3-qadam
Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.
Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,
\[6z = \frac{\pi }{6} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} 6z = \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 6 ga bo'lish kifoya.
\[z = \frac{\pi }{{36}} + \frac{{\pi n}}{3} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} z = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{\pi n}}{3} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]4-qadam
E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 36 ga teng bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 36 ga teng bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.
\[\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] = \left[ {0,\frac{{18\pi }}{{36}}} \right]\]Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz 36 maxrajga ega bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa suratlarni solishtirishdir. Numeratorlar ijobiy va \(18\pi \) dan kichik bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.
Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun har ikkala kasrning maxrajlari 36 ga teng bo'lishi osonroq bo'ladi.
\[z = \frac{\pi }{{36}} + \frac{{12\pi n}}{{36}} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} z = \frac{{11\pi }}{{36}} + \frac{{12\pi n}}{{36}} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = 0\) dan boshlaylik va nimaga erishganimizni ko'rib chiqamiz.
\[\begin{array}{llcl}{n = 0:} & {z = \frac{\pi }{{36}}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {z = \frac{{11\pi }}{{36}}}\\ {n = 1:} & {z = \frac{{13\pi }}{{36}}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {z = \require{cancel} \xcancel{{\frac{{23\pi }}{{36}}}} > \frac{{18\pi }}{{36}}}\end{array}\]Davom etishdan oldin bir nechta narsani e'tiborga olishimiz kerak. Birinchidan, \(n\) ning berilgan qiymatidan ikkala yechim ham berilgan intervalda bo'lishi shart emasligini tushunish muhimdir. Bu masala ko'rsatganidek, biz \(n\) ning berilgan qiymatidan faqat bitta yoki boshqa yechimni berilgan intervalga tushishimiz mumkin.
Keyingi e'tibor bering, \(n\) ning har bir ortishi bilan biz avvalgi natijalarga yana bir \(\frac{{12\pi }}{{36}}\) qo'shdik va tezkor tekshirish orqali biz \(n = 1\) qadamidagi birinchi yechimning numeratoriga \(12\pi \) ni qo'shish \(18\pi \) dan kattaroq suratga olib kelishini ko'rishimiz mumkin edi. Shuning uchun \(n = 2\)-ni birinchi yechimlar to'plamiga ulash uchun hech qanday sabab yo'q edi. Albatta, biz \(n = 2\)-ni ikkinchi to'plamga ham ulamadik, chunki biz oraliqdan chiqqanimizdan so'ng, boshqa narsalarni qo'shish intervaldan tashqarida qoladi.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning uchta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = \frac{\pi }{{36}},\,\,\frac{{11\pi }}{{36}},\,\,\frac{{13\pi }}{{36}}}}\]