1.4-bo'lim : Trig tenglamalarini yechish
4. Kalkulyatordan foydalanmasdan \(\left[ { - 7\pi ,7\pi } \right]\) da bo'lgan \(\displaystyle 2\cos \left( {\frac{x}{3}} \right) + \sqrt 2 = 0\) yechimini toping.
Yechim
Ushbu bo'limning 3-masalasida biz ushbu tenglamaning barcha yechimlarini topganimiz uchun biz faqat natijani shu erda sanab o'tamiz. Ushbu yechimlar qanday olinganligi haqida toʻliq maʼlumot olish uchun 3-muammo yechimiga qarang.
Tenglamaning barcha yechimlari,
\[x = \frac{{9\pi }}{4} + 6\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{15\pi }}{4} + 6\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]2-qadam
E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 4 bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 4 ga teng bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.
\[\left[ { - 7\pi ,7\pi } \right] = \left[ { - \frac{{28\pi }}{4},\frac{{28\pi }}{4}} \right]\]Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz 4 maxrajga ega bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa suratlarni solishtirishdir. Agar suratlar \( - 28\pi \) va \(28\pi \) o'rtasida bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.
Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 4 ga teng bo'lishi ancha oson bo'ladi. Demak, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.
\[x = \frac{{9\pi }}{4} + \frac{{24\pi n}}{4} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{15\pi }}{4} + \frac{{24\pi n}}{4} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Endi barcha echimlarni topamiz.
\[\begin{array}{llcl}{n = - 2:} & {x = \require{cancel} \xcancel{{ - \frac{{39\pi }}{4}}} < - \frac{{28\pi }}{4}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \xcancel{{ - \frac{{33\pi }}{4}}} < - \frac{{28\pi }}{4}}\\ {n = - 1:} & {x = - \frac{{15\pi }}{4}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = - \frac{{9\pi }}{4}}\\ {n = 0:} & {x = \frac{{9\pi }}{4}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \frac{{15\pi }}{4}}\\ {n = 1:} & {x = \xcancel{{\frac{{33\pi }}{4}}} > \frac{{28\pi }}{4}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \xcancel{{\frac{{39\pi }}{4}}} > \frac{{28\pi }}{4}}\end{array}\]E'tibor bering, ular ishlamasligini ko'rish uchun yuqoridagi \(n = 1\) yoki \(n = - 2\) ni ulashimiz shart emas edi. \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalardan shunchaki qo'shdik (musbat \(n\) uchun) yoki ayirdik (salbiy \(n\) uchun) boshqa \(\frac{{24\pi }}{4}\). Tez tekshirish orqali biz \(24\pi \) ni \(n = 1\) qadamidagi har ikkala yechimning numeratoriga qo‘shish \(28\pi \) dan kattaroq suratga olib kelishini va shuning uchun intervaldan tashqarida bo‘lgan yechimga olib kelishini ko‘rishimiz mumkin edi. Xuddi shunday, \(n = - 2\) ishi uchun har bir raqamdan \(24\pi \)ni ayirish \( - 28\pi \) dan kichik bo'lgan numeratorlarga olib keladi va shuning uchun intervalda bo'lmaydi. Muammoni hal qilish uchun buni e'tiborga olish kerak emas, lekin buni payqash, albatta, haqiqiy ish hajmini kamaytirishga yordam beradi.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{x = - \frac{{15\pi }}{4},\, - \frac{{9\pi }}{4},\,\,\frac{{9\pi }}{4},\,\,\frac{{15\pi }}{4}}}\]