1.4-bo'lim : Trig tenglamalarini yechish
2. Kalkulyatordan foydalanmasdan \(\displaystyle \left[ {0,\frac{{4\pi }}{3}} \right]\) da mavjud \(4\sin \left( {3t} \right) = 2\) yechimini toping.
Yechim
Biz ushbu bo'limning 1-masalasida ushbu tenglamaning barcha yechimlarini topganimiz uchun biz natijani shu erda sanab o'tamiz. Ushbu yechimlar qanday olinganligi haqida toʻliq maʼlumot olish uchun 1-muammo yechimiga qarang.
Tenglamaning barcha yechimlari,
\[t = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{2\pi n}}{3} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} t = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{2\pi n}}{3} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]2-qadam
E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 18 ga teng bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 18 ga teng bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.
\[\left[ {0,\frac{{4\pi }}{3}} \right] = \left[ {0,\frac{{24\pi }}{{18}}} \right]\]Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz 18 maxrajga ega bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa suratlarni solishtirishdir. Numeratorlar ijobiy va \(24\pi \) dan kichik bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.
Shuningdek, \(n\) ning alohida qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 18 ga teng bo'lishi ancha oson bo'ladi. Demak, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.
\[t = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{12\pi n}}{{18}}\hspace{0.5in}{\rm{OR }}\hspace{0.5in} t = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{12\pi n}}{{18}} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunday qilib, keling, \(n = 0\) dan boshlaylik va nimaga erishganimizni ko'rib chiqamiz.
\[\require{cancel} \begin{array}{llcl}{n = 0:} & {t = \frac{\pi }{{18}}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {t = \frac{{5\pi }}{{18}}}\\ {n = 1:} & {t = \frac{{13\pi }}{{18}}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {t = \frac{{17\pi }}{{18}}}\\ {n = 2:} & {t = \xcancel{{\frac{{25\pi }}{{18}}}} > \frac{{24\pi }}{{18}}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {t = \xcancel{{\frac{{29\pi }}{{18}}}} > \frac{{24\pi }}{{18}}}\end{array}\]E'tibor bering, ular ishlamasligini ko'rish uchun yuqoridagi \(n = 2\) ni ulashimiz shart emas edi. \(n\) ning har bir o'sishi bilan biz avvalgi natijalarga yana bir \(\frac{{12\pi }}{{18}}\) qo'shdik va tezkor tekshirish orqali biz \(12\pi \) ni \(n = 1\) qadamidagi har ikkala yechimning numeratoriga qo'shish \(24\pi \) dan kattaroq suratga olib kelishini ko'rishimiz mumkin edi va bu yechim oralig'idan tashqarida bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun buni e'tiborga olish kerak emas, lekin buni payqash, albatta, haqiqiy ish hajmini kamaytirishga yordam beradi.
Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning to‘rtta yechimi borga o‘xshaydi.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{t = \frac{\pi }{{18}},\,\,\frac{{5\pi }}{{18}},\,\,\frac{{13\pi }}{{18}},\,\,\frac{{17\pi }}{{18}}}}\]