Biz bu muammoda kosinus bilan shug‘ullanayotganimiz va \(x\) o‘qi birlik aylanada kosinus ekanligini bilamiz, biz \( - \frac{1}{2}\) ning \(x\) koordinatasiga ega bo‘lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz ikkinchi va uchinchi kvadrantda burchaklarga ega bo'lamiz.

Salbiy qiymat tufayli biz birinchi kvadrantda mos keladigan burchakni topa olmaymiz va ikkinchi burchakni topish uchun undan foydalanamiz. Biroq, bizga kerak bo'lgan ikkita burchakni topish uchun birinchi kvadrantdagi burchaklardan foydalanishimiz mumkin. Mana bu holat uchun birlik doirasi.

Agar bizda salbiy qiymat bo'lmasa, burchak \(\frac{\pi }{3}\) bo'lar edi. Endi, birlik doirasidagi simmetriyaga asoslanib, ikkala burchak uchun terminal chizig'i manfiy \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{3}\) burchagini hosil qiladi. Keyin ikkinchi kvadrantdagi burchak \(\pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}\), uchinchi kvadrantdagi burchak esa \(\pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3}\) bo'ladi.

Ushbu bo'lim uchun eslatmalardagi muhokamadan bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lganimizdan so'ng, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,

\[\frac{y}{7} = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} \frac{y}{7} = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni 7 ga ko'paytirish kifoya.

\[y = \frac{{14\pi }}{3} + 14\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} y = \frac{{28\pi }}{3} + 14\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 3 ga teng bo'lganligi sababli intervalni maxrajlari 3 ga teng bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin.

\[\left[ {\frac{{30\pi }}{3},\frac{{45\pi }}{3}} \right]\]

Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz maxraji 3 ga teng bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa sanoqlarni solishtirishdir. Agar suratlar \(30\pi \) va \(45\pi \) o'rtasida bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.

Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 3 ga teng bo'lishi ancha oson bo'ladi. Demak, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.

\[y = \frac{{14\pi }}{3} + \frac{{42\pi n}}{3} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} y = \frac{{28\pi }}{3} + \frac{{42\pi n}}{3} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Tez tekshirish natijasida biz \(n = 0\) oraliqda bo'lmagan yechimlarga olib kelishini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun keling, \(n = 1\) dan boshlaylik va biz nimaga erishamiz.

\[\begin{array}{llcl}{n = 1:} & {x = \require{cancel} \xcancel{{\frac{{56\pi }}{3}}} > \frac{{45\pi }}{3}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \xcancel{{\frac{{70\pi }}{3}}} > \frac{{45\pi }}{3}}\end{array}\]

Shunday qilib, \(n = 1\)-ni ulash orqali biz allaqachon intervaldan tashqarida bo'lgan echimlarni olamiz va \(n\)ni oshirish shunchaki ularga boshqa \(\frac{{42\pi }}{3}\) qo'shishni anglatadi va shuning uchun berilgan intervaldan tashqarida qoladi. Bundan tashqari, biz \(n\) ning boshqa barcha qiymatlari berilgan oraliqdan tashqarida echimlarga olib kelishidan oldinroq payqadik.

Bularning barchasi shuni anglatadiki, tenglamaning echimlari mavjud bo'lsa-da, hech biri berilgan oraliq ichiga tushmaydi va shuning uchun rasmiy javob shunday bo'ladi. berilgan oraliqda yechimlar yo'q.