Biz bu muammoda kosinus bilan ishlayotganimiz va \(x\) o'qi birlik doiradagi kosinusni ifodalashini bilamiz, biz \(\frac{1}{2}\) ning \(x\) koordinatasiga ega bo'lgan burchaklarni qidiramiz. Bu shuni anglatadiki, biz birinchi kvadrantda burchakka va to'rtinchi kvadrantda burchakka ega bo'lamiz (buni topish uchun birinchi kvadrantdagi burchakdan foydalanishimiz mumkin). Mana bu holat uchun birlik doirasi.

Shubhasiz, birinchi kvadrantdagi burchak \(\frac{\pi }{3}\) va ba'zi bir asosiy simmetriyaga ko'ra, ikkinchi burchak uchun terminal chizig'i yuqorida ko'rsatilganidek, \(x\) musbat o'qi bilan \(\frac{\pi }{3}\) burchak hosil qilishi kerakligini ko'rishimiz mumkin va shunday bo'ladi: \(2\pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{3}\).

E'tibor bering, ikkinchisi uchun sizga ijobiy burchak kerak emas. Agar xohlasangiz, ikkinchi burchak uchun \( - \frac{\pi }{3}\) dan osongina foydalanishingiz mumkin edi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q va siz oxir-oqibat bir xil echimlarni olasiz. Ijobiy burchak bilan borishni tanlaganimizning sababi, kelajakda biron bir nuqtada ikkinchi yechimdagi minus belgisini tasodifan yo'qotmaslikdir. Ba'zida bunday xatoga yo'l qo'yish oson va bu erda ijobiy burchaklardan foydalangan holda biz buni qilish haqida tashvishlanishga hojat yo'q.

Ushbu bo'lim uchun eslatmalar muhokamasidan shuni bilamizki, biz ushbu ikki burchakka ega bo'lgach, ularning har biriga "\(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) uchun \( + \,2\pi n\)" ni qo'shish orqali barcha mumkin bo'lgan burchaklarni olishimiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, bizda bo'lishi kerak,

\[\frac{{2x}}{5} = \frac{\pi }{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} \frac{{2x}}{5} = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Nihoyat, tenglamaning barcha yechimlarini olish uchun ikkala tomonni \(\frac{5}{2}\) ga ko'paytirish kifoya.

\[x = \frac{{5\pi }}{6} + 5\pi n \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{25\pi }}{6} + 5\pi n \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

E'tibor bering, hech bo'lmaganda ba'zi yechimlarning maxraji 6 ga teng bo'lganligi sababli, intervalni maxrajlari 6 bo'lgan kasrlar ko'rinishida yozish qulay bo'lishi mumkin. Bu oraliq ichiga tushadigan yechimlarni aniqlashni ancha osonlashtiradi.

\[\left[ {5\pi ,\frac{{40\pi }}{3}} \right] = \left[ {\frac{{30\pi }}{6},\frac{{80\pi }}{6}} \right]\]

Ushbu shaklda yozilgan interval bilan, agar bizning potentsial yechimlarimiz maxraji 6 ga teng bo'lsa, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa sanoqlarni solishtirishdir. Agar suratlar \(30\pi \) va \(80\pi \) o'rtasida bo'lsa, biz yechim oraliqda ekanligini bilib olamiz.

Shuningdek, \(n\) ning ma'lum qiymatlari yechimini tez aniqlash uchun eritmalardagi ikkala kasrning maxrajlari 6 ga ega bo'lishi ancha oson bo'ladi. Shunday qilib, bu shaklda yozilgan yechimlar shunday bo'ladi.

\[x = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{30\pi n}}{6} \hspace{0.5in} {\rm{OR }} \hspace{0.5in} x = \frac{{25\pi }}{6} + \frac{{30\pi n}}{6} \hspace{0.5in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Endi barcha echimlarni topamiz. Avval e'tibor bering, bu holda, agar biz \(n\) ning salbiy qiymatlarini kiritsak, biz salbiy echimlarni olamiz va ular intervalda bo'lmaydi va shuning uchun ularni sinab ko'rish uchun hech qanday sabab yo'q. Tez tekshirish natijasida biz \(n = 0\) oraliqda bo'lmagan yechimlarga olib kelishini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun \(n = 1\) dan boshlaylik va nima olishimizni ko'rib chiqamiz.

\[\begin{array}{llcl}{n = 1:} & {x = \frac{{35\pi }}{6}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \frac{{55\pi }}{6}}\\{n = 2:} & {x = \frac{{65\pi }}{6}\,} & {\,\,\,{\rm{OR}}\,\,\,} & {x = \require{cancel} \xcancel{{\frac{{85\pi }}{{36}}}} > \frac{{80\pi }}{6}}\end{array}\]

Davom etishdan oldin bir nechta narsani e'tiborga olishimiz kerak. Birinchidan, \(n\) ning ma'lum qiymatidan ikkala yechim ham berilgan intervalda bo'lishi shart emasligini tushunish muhimdir. Bu masala ko'rsatganidek, biz \(n\) ning berilgan qiymatidan faqat bitta yoki boshqa yechimni berilgan intervalga tushishimiz mumkin.

Keyingi e'tibor bering, \(n\) ning har bir ortishi bilan biz avvalgi natijalarga yana bir \(\frac{{30\pi }}{6}\) qo'shdik va tezkor tekshirish orqali biz \(30\pi \) ni \(n = 2\) qadamidagi birinchi yechimning suratiga qo'shish \(80\pi \) dan kattaroq suratga olib kelishini ko'rishimiz mumkin edi. Shuning uchun \(n = 3\)-ni birinchi yechimlar to'plamiga ulash uchun hech qanday sabab yo'q edi. Albatta, biz \(n = 3\)-ni ikkinchi to'plamga ham ulamadik, chunki biz oraliqdan chiqqanimizdan so'ng, boshqa narsalarni qo'shish intervaldan tashqarida qoladi.

Nihoyat, ushbu bo'limdagi ko'pgina muammolardan farqli o'laroq, \(n = 0\) berilgan oraliqda bo'lgan hech qanday yechim ishlab chiqarmadi. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.

Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning uchta yechimi borga o‘xshaydi.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{z = \frac{{35\pi }}{6},\,\,\frac{{55\pi }}{6},\,\,\frac{{65\pi }}{6}}}\]