Asosiy tarkibga o'tish

1.1-bo'lim : Ko'rib chiqish: Funktsiyalar

28. \(\displaystyle P\left( t \right) = \frac{{5t + 1}}{{\sqrt {{t^3} - {t^2} - 8t} }}\) domenini toping.

Yechim

Bunday holda biz manfiy sonlarning kvadrat ildizlaridan qochishimiz kerak va kvadrat ildiz maxrajda bo'lgani uchun biz nolga bo'linishdan ham qochishimiz kerak. Biz ikkala ehtiyojni ham talab qilish orqali qondira olamiz,

\[{t^3} - {t^2} - 8t = t\left( {{t^2} - t - 8} \right) > 0\]

E'tibor bering, nolning kvadrat ildizida xatolik yo'q, lekin biz nolning kvadrat ildizi nolga teng ekanligini bilamiz va shuning uchun agar biz ildiz ostidagi ko'phadni qat'iy musbat bo'lishini talab qilsak, bizda manfiy sonlarning kvadrat ildizlari yo'qligini bilib olamiz va biz nolga bo'linishdan qochamiz.

Endi, ko'phad nolga teng bo'lgan joydan qochishimiz kerak bo'lsa-da, biz bilamizki, u faqat noldan o'tsa, belgilarini o'zgartiradi va shuning uchun ko'phad qayerda nolga teng ekanligini aniqlashimiz kerak bo'ladi.

Shubhasiz, bitta qiymat \(t = 0\) va kvadratik faktor bo'lmagani uchun biz quyidagi ikkita qo'shimcha nuqtani olish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz mumkin.

\[\begin{align*}t & = \frac{{1 \pm \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 8} \right)} }}{2} = \frac{{1 \pm \sqrt {33} }}{2} & \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} & t = \frac{{1 + \sqrt {33} }}{2} = 3.372281\\ & & \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} & t = \frac{{1 - \sqrt {33} }}{2} = - 2.372281\end{align*}\]

Demak, bu uch nuqta (\(t = 0\), \(t = - 2.372281\) va \(t = 3.372281\) ildiz ostidagi ko‘phad belgisini o‘zgartirishi mumkin bo‘lgan yagona joylardir.

2-qadam

Bu erda a da ko'phadning qiymatini/belgisini beruvchi son chizig'i sinov nuqtasi ushbu uch nuqta bilan belgilangan har bir mintaqada. Raqam chizig'ini o'qishni biroz osonlashtirish uchun radikal ostidagi ko'phadni aniqlaymiz,

\[R\left( t \right) = {t^3} - {t^2} - 8t = t\left( {{t^2} - t - 8} \right) > 0\]

Mana, son qatori,

A number line for \(R\left( t \right) = t\left( {{t^2} - t - 8} \right)\) with dashed vertical lines at the two approximate roots \(t = - 2.3723\) and \(t = 3.3723\) and at \(t = 0\), dividing it into four regions. In the first region \(R\left( { - 3} \right) = - 12\) so \(R\left( t \right) < 0\), in the second \(R\left( { - 1} \right) = 6\) so \(R\left( t \right) > 0\), in the third \(R\left( 1 \right) = - 8\) so \(R\left( t \right) < 0\), and in the fourth \(R\left( 4 \right) = 16\) so \(R\left( t \right) > 0\).

3-qadam

Domen ildiz ostidagi ko'phad musbat bo'lgan barcha nuqtalar bo'ladi, lekin nolga teng emas, chunki biz nolga bo'linishdan qochishimiz kerak va shuning uchun domen,

\[{\rm{Domain : }}\frac{{1 - \sqrt {33} }}{2} < t < 0,\,\,\,\frac{{1 + \sqrt {33} }}{2} < t < \infty \]