Asosiy tarkibga o'tish

1.1-bo'lim : Ko'rib chiqish: Funktsiyalar

27. \(h\left( x \right) = \sqrt {{x^4} - {x^3} - 20{x^2}} \) domenini toping.

Yechim

Bunday holda biz manfiy sonlarning kvadrat ildizlaridan qochishimiz kerak, shuning uchun biz quyidagilarni talab qilishimiz kerak:

\[{x^4} - {x^3} - 20{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - x - 20} \right) = {x^2}\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) \ge 0\]

Ko‘phadni faktorlangan shaklda olganimizdan so‘ng, \(x = 0\), \(x = - 4\) va \(x = 5\) da chap tomon nolga teng bo‘lishini ko‘ramiz. Radikal ostidagi miqdor ko'phad bo'lgani uchun, biz bilamizki, u noldan o'tsagina belgisini o'zgartirishi mumkin va shuning uchun chapdagi ko'phadning belgisini o'zgartirishi mumkin bo'lgan yagona nuqtalar shulardir.

2-qadam

Bu erda a da ko'phadning qiymatini/belgisini beruvchi son chizig'i sinov nuqtasi ushbu uch nuqta bilan belgilangan har bir mintaqada. Raqam chizig'ini o'qishni biroz osonlashtirish uchun radikal ostidagi ko'phadni aniqlaymiz,

\[R\left( x \right) = {x^4} - {x^3} - 20{x^2} = {x^2}\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right)\]

Mana, son qatori,

A number line for \(R\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 5} \right)\left( {x + 4} \right)\) with dashed vertical lines at \(x = - 4\), \(x = 0\) and \(x = 5\) dividing it into four regions. In the first region \(R\left( { - 5} \right) = 250\) so \(R\left( x \right) > 0\), in the second \(R\left( { - 1} \right) = - 18\) so \(R\left( x \right) < 0\), in the third \(R\left( 1 \right) = - 20\) so \(R\left( x \right) < 0\), and in the fourth \(R\left( 6 \right) = 360\) so \(R\left( x \right) > 0\).

3-qadam

Domen ildiz ostidagi ko'phad musbat yoki nolga teng bo'lgan barcha nuqtalar bo'ladi, shuning uchun domen,

\[{\rm{Domain : }} - \infty < x \le - 4,\,\,\,x = 0,\,\,\,5 \le x < \infty \]

Bunday holda biz juda ehtiyot bo'lishimiz va \(x = 0\)-ni o'tkazib yubormasligimiz kerak. Bu ko'phadning manfiy qiymatlarini beradigan ikkita mintaqani ajratib turadigan nuqta, lekin u nolni beradi va shuning uchun u ham domenning bir qismini beradi. Bu nuqta ko'pincha juda oson o'tkazib yuboriladi.