Biz bilamizki, agar biz kvadrat ildizlarga ega bo'lsak, manfiy sonning kvadrat ildizini ololmaydi. Biroq, chunki,

\[{z^2} + 1 \ge 1\]

bu holda biz hech qachon manfiy sonning kvadrat ildizini olmaymiz va shuning uchun domen barcha haqiqiy sonlar yoki,

\[{\mbox{Domain : }} - \infty < z < \infty \,\,\,{\rm{or}}\,\,\,\left( { - \infty ,\infty } \right)\]

Diapazon uchun kvadrat ildizlar faqat ijobiy yoki nolga teng qiymatlarni qaytarishini esga olishimiz kerak va aslida kvadrat ildizdan nolga erishishning yagona yo'li, agar biz nolning kvadrat ildizini olsak bo'ladi. Bizning funktsiyamiz uchun, yuqorida aytib o'tganimizdek, ildiz ostidagi miqdor har doim kamida 1 bo'ladi va shuning uchun bu ildiz hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Kvadrat ildizlar haqida bizda quyidagi fakt borligini eslang,

\[{\mbox{If }}x \ge 1{\mbox{ then }}\sqrt x \ge 1\]

Shunday qilib, biz endi bilamiz,

\[\sqrt {{z^2} + 1} \ge 1\]

Nihoyat, biz ildizga 2 qo'shamiz va shuning uchun funktsiya har doim 3 dan katta yoki teng bo'lishi kerakligini bilamiz va shuning uchun diapazon,

\[{\mbox{Range : }}\left[ {3,\infty } \right)\]