2.9-bo'lim : Davomiylik
5. dan faqat 1-9 xususiyatlaridan foydalanish Cheklash xususiyatlari bo'lim, bir tomonlama chegara xususiyatlari (agar kerak bo'lsa) va uzluksizlik ta'rifi quyidagi funktsiyaning uzluksiz yoki uzluksiz ekanligini aniqlaydi. (a) \(x = 4\), (b) \(x = 6\)?
\[g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{rl}{2x}&{x < 6}\\{x - 1}&{x \ge 6}\end{array}} \right.\]a Yechim
Ushbu qismning yechimini boshlashdan oldin, biz ushbu nuqtaga limitlarni baholash uchun odatda qilgan ishni QILA OLAMIZimizga e'tibor bering. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz limitni hisoblash uchun nuqtani ulab bo'lmaydi. Buni amalga oshirish, so'zsiz funktsiya nuqtada uzluksiz ekanligini nazarda tutadi va bizdan bu erda aniqlashimiz so'raladi.
Shuning uchun biz uchun chegarani hisoblashning yagona yo'li Limit xususiyatlari bo'limidagi xususiyatlarga qaytish va o'sha bo'limda bo'lgani kabi chegarani hisoblashdir. Biz bu erda barcha tafsilotlarni kiritmaymiz, shuning uchun agar sizga buni amalga oshirishda biroz yangilanish kerak bo'lsa, o'sha bo'limdagi muammolarga qaytib, ulardan bir nechtasini ishlang.
Ushbu qismda biz \(x < 6\) diapazonida \(x = 4\) ning har ikki tomonida \(x\) qiymatlari mavjudligi sababli bu erda bir tomonlama chegaralar haqida tashvishlanishga hojat yo'qligini ko'rishimiz mumkin. Mana bu qism uchun ish.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} x = 2\left( 4 \right) = g\left( 4 \right)\]Shunday qilib, biz \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g\left( x \right) = g\left( 4 \right)\] va shunga o'xshash funktsiyani ko'rishimiz mumkin uzluksizdir at \(x = 4\).
b Yechim
Nega biz shunchaki raqamni ulab bo'lmasligimizni asoslash uchun bu erda yechimning boshida joylashgan sharhni tekshiring (a).
Ushbu qism uchun bizni qo'shimcha murakkablik borki, bizni qiziqtiradigan nuqta ham bo'lak-bo'lak funksiyaning "kesish" nuqtasidir va shuning uchun biz umumiy chegarani hisoblash uchun ikkita bir tomonlama chegaralarni ko'rib chiqishimiz kerak va yana bizdan funktsiyaning uzluksizligini aniqlash so'raladi, chunki bu nuqtada biz asosiy chegara xususiyatlariga murojaat qilishimiz kerak bo'ladi. yana...).
Mana bu qism uchun ish.
\[\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} x = 2\left( 6 \right) = 12\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \left( {x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} 1 = 6 - 1 = 5\end{array}\]Shunday qilib, biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} g\left( x \right)\) va shunga o'xshash \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} g\left( x \right)\) mavjud emasligini ko'rishimiz mumkin.
Endi, ushbu bo'lim uchun eslatmalarda muhokama qilinganidek, funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun ham funktsiya, ham chegara mavjud bo'lishi kerak. Shuning uchun, bu funktsiya doimiy emas \(x = 6\) da, chunki \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} g\left( x \right)\] mavjud emas.