2.9-bo'lim : Davomiylik
3. dan faqat 1-9 xususiyatlaridan foydalanish Cheklash xususiyatlari bo'lim, bir tomonlama chegara xususiyatlari (agar kerak bo'lsa) va uzluksizlik ta'rifi quyidagi funktsiyaning uzluksiz yoki uzluksiz ekanligini aniqlaydi. (a) \(x = - 1\), (b) \(x = 0\), (c) \(x = 3\)?
\[f\left( x \right) = \frac{{4x + 5}}{{9 - 3x}}\]a \(x = - 1\) Yechim
Ushbu qismning yechimini boshlashdan oldin, biz ushbu nuqtaga limitlarni baholash uchun odatda qilgan ishni QILA OLAMIZimizga e'tibor bering. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz limitni hisoblash uchun nuqtani ulab bo'lmaydi. Buni amalga oshirish, so'zsiz funktsiya nuqtada uzluksiz ekanligini nazarda tutadi va bizdan bu erda aniqlashimiz so'raladi.
Shuning uchun biz uchun chegarani hisoblashning yagona yo'li Limit xususiyatlari bo'limidagi xususiyatlarga qaytish va o'sha bo'limda bo'lgani kabi chegarani hisoblashdir. Biz bu erda barcha tafsilotlarni kiritmaymiz, shuning uchun agar sizga buni amalga oshirishda biroz yangilanish kerak bo'lsa, o'sha bo'limdagi muammolarga qaytib, ulardan bir nechtasini ishlang.
Shunday qilib, biz boramiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5}}{{9 - 3x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {4x + 5} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {9 - 3x} \right)}} = \frac{{4\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 5}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 9 - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x}} = \frac{{4\left( { - 1} \right) + 5}}{{9 - 3\left( { - 1} \right)}} = f\left( { - 1} \right)\]Shunday qilib, biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) va shunga o'xshash funktsiyani ko'rishimiz mumkin uzluksizdir at \(x = - 1\).
b \(x = 0\) Yechim
Nega biz shunchaki raqamni ulab bo'lmasligimizni asoslash uchun bu erda yechimning boshida joylashgan sharhni tekshiring (a).
Mana bu qism uchun ish.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x + 5}}{{9 - 3x}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {4x + 5} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {9 - 3x} \right)}} = \frac{{4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 5}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 9 - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x}} = \frac{{4\left( 0 \right) + 5}}{{9 - 3\left( 0 \right)}} = f\left( 0 \right)\]Shunday qilib, biz \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) va shunga o'xshash funktsiyani ko'rishimiz mumkin uzluksizdir at \(x = 0\).
c \(x = 3\) Yechim
Nega biz shunchaki raqamni ulab bo'lmasligimizni asoslash uchun bu erda yechimning boshida joylashgan sharhni tekshiring (a). Albatta, bu erda \(f\left( 3 \right)\) mavjud emasligi muammosi bor va shuning uchun biz xohlasak ham qiymatni ulay olmadik.
Bu, shuningdek, biz bilishimiz kerak bo'lgan narsalarni aytadi. Ushbu bo'lim uchun eslatmalarda ta'kidlanganidek, agar funktsiya yoki chegara mavjud bo'lmasa, funktsiya nuqtada uzluksiz emas. Shunday qilib, biz funktsiyani ko'rishimiz mumkin doimiy emas at \(x = 3\).
Amaliyot uchun siz buni tekshirishni xohlashingiz mumkin,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \infty \hspace{0.5in}\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = - \infty \]va shuning uchun \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\) ham mavjud emas.