2.9-bo'lim : Davomiylik
15. \(4t + 10{{\bf{e}}^t} - {{\bf{e}}^{2t}} = 0\) ning \(\left[ {1,3} \right]\) oralig'ida kamida bitta ildizga ega ekanligini ko'rsatish uchun O'rta qiymat teoremasidan foydalaning. E'tibor bering, sizdan yechim topish so'ralmaydi, faqat ko'rsatilgan intervalda kamida bittasi bo'lishi kerakligini ko'rsating,
Birinchidan, siz foydalanishingiz kerak bo'lgan "\(M\)" qiymatini aniqlab olishingiz va keyin Oraliq qiymat teoremasidan foydalanishingiz kerak. Shunday qilib, IVT ga qayting va teoremaning xulosalarini solishtiring va \(M\) nima bo'lishi kerakligi juda aniq bo'lishi kerak va keyin gipotezani tekshiring (i.e. teoremaning "talablari" bajariladi va siz deyarli bajarasiz.
Yechim
OK, keling, aniqlashdan boshlaylik,
\[f\left( t \right) = 4t + 10{{\bf{e}}^t} - {{\bf{e}}^{2t}}\hspace{0.5in}\& \,\,\hspace{0.5in}\,\,M = 0\]Muammo bizdan \(\left[ {1,3} \right]\) da \(c\) mavjudligini ko'rsatishimizni so'raydi, shunda,
\[f\left( c \right) = 0 = M\]ammo bu Oraliq qiymat teoremasining aynan ikkinchi xulosasi. Shunday qilib, keling, teoremaning "talablari" bajarilganligini ko'raylik.
Birinchidan, funktsiya ko'phad va ikkita ko'rsatkichning yig'indisi va ayirmasi (ularning barchasi hamma joyda uzluksizdir) va \(\left[ {1,3} \right]\) oralig'ida doimiydir. E'tibor bering, bu IVT dan foydalanish uchun bajarilishi kerak bo'lgan talabdir va bu ko'pincha e'tibordan chetda qoladigan yagona talabdir. Agar bizda uzluksiz funktsiya bo'lmasa, IVT oddiygina ishlatilmaydi.
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(M\) oraliqning so'nggi nuqtalari sifatida funktsiya qiymatlari orasida ekanligini tekshirish. Shunday qilib,
\[f\left( 1 \right) = 23.7938\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}f\left( 3 \right) = - 190.5734\]Shuning uchun bizda,
\[f\left( 3 \right) = - 190.5734 < 0 < 23.7938 = f\left( 1 \right)\]Shunday qilib, Oraliq qiymat teoremasi bo'yicha \(c\) raqami bo'lishi kerak, shundayki,
\[1 < c < 3\hspace{0.5in}\& \hspace{0.5in}f\left( c \right) = 0\]va biz ko'rsatishimiz so'ralgan narsani ko'rsatdik.