5-bob: Integrallar
Calculus I eslatmasining Integrallar bobi uchun topshiriq masalalari to'plami. Shuni esda tutingki, bu muammolarni hal qilishning iloji yo'q. Bular asosan o'qituvchilar uchun mo'ljallangan bo'lib, ular bir qator muammolarni hal qilish uchun topshirilishi mumkin. Yechimlar (yoki hatto yakuniy javoblar) mavjud bo'lsa, muammolarning maqsadini yo'q qiladi.
Noaniq integrallar - Ushbu bo'limda biz bobni noaniq integrallarning ta'rifi va xususiyatlaridan boshlaymiz. Ushbu bo'limda biz ko'plab noaniq integrallarni hisoblamaymiz. Ushbu bo'lim noaniq integral nima ekanligini oddiygina aniqlashga va noaniq integralning ko'pgina xususiyatlarini berishga bag'ishlangan. Haqiqatda noaniq integrallarni hisoblash keyingi bobda boshlanadi.
Noaniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz bir nechta noaniq integrallarni hisoblaymiz. Ushbu bo'limdagi integrallar integralni haqiqatda hisoblash uchun biz integrallashayotgan funktsiyani ko'p manipulyatsiya qilishni talab qilmaydiganlar bo'ladi. Keyingidan boshlab ko'rib turganimizdek, ko'plab integrallar biz integralni amalga oshirishimizdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi. Shuningdek, biz noaniq integrallarning qo'llanilishini tez ko'rib chiqamiz.
Noaniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz eng keng tarqalgan va foydali integratsiya usullaridan birini - almashtirish qoidasidan foydalanishni boshlaymiz. O'zgartirish qoidasi bilan biz turli xil funktsiyalarni birlashtira olamiz. Ushbu bo'limdagi integrallar oldingi bo'limdagi ko'pgina integrallardan farqli o'laroq, integrallashdan oldin funktsiyani biroz manipulyatsiya qilishni talab qiladi, bu erda bizga faqat asosiy integratsiya formulalari kerak edi.
Ko'proq almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini ko'rib chiqishni davom ettiramiz. Ushbu bo'limdagi muammolar avvalgi bo'limga qaraganda bir oz ko'proq ishtirok etadi.
Hudud muammosi - Ushbu bo'limda biz aniq integrallar uchun motivatsiyadan boshlaymiz va aniq integrallarning talqinlaridan birini beramiz. Biz funktsiya va \(x\) o'qi o'rtasida joylashgan maydon miqdorini taxmin qilamiz. Keyingida ko'rib turganimizdek, bu muammo bizni aniq integralning ta'rifiga olib boradi va biz ushbu materialda ko'rib chiqiladigan aniq integralning asosiy talqinlaridan biri bo'ladi.
Aniq integralning ta'rifi - Ushbu bo'limda biz aniq integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz, uning ko'pgina xususiyatlarini beramiz va aniq integralning bir nechta talqinlarini muhokama qilamiz. Biz, shuningdek, hosilalar va integrallar o'rtasidagi juda yaqin munosabatni ko'rsatadigan Hisoblashning asosiy teoremasining birinchi qismini ko'rib chiqamiz.
Aniq integrallarni hisoblash - Ushbu bo'limda biz Hisoblashning asosiy teoremasining ikkinchi qismini ko'rib chiqamiz. Bu bizga aniq integrallarni (ko'pincha juda yoqimsiz) ta'rifdan foydalanmasdan qanday hisoblashimizni ko'rsatadi. Ushbu bo'limdagi misollar noaniq integrallar haqidagi asosiy bilimlar bilan bajarilishi mumkin va almashtirish qoidasidan foydalanishni talab qilmaydi. Ushbu bo'limdagi misollarga qismli va mutlaq qiymatli funktsiyalarning aniq integrallarini hisoblash kiradi.
Aniq integrallarni almashtirish qoidasi - Ushbu bo'limda biz almashtirish qoidasini qayta ko'rib chiqamiz, chunki u aniq integrallarga nisbatan qo'llaniladi. Ushbu bo'limdagi misollarni bajarish uchun yagona haqiqiy talablar noaniq integrallarni almashtirish qoidasini bajarish va umuman aniq integrallarni qanday hisoblashni tushunishdir.