Asosiy tarkibga o'tish

16.1-bo'lim : Vektor maydonlari

1. \(\vec F\left( {x,y} \right) = 2x\,\vec i - 2\vec j\) uchun vektor maydonini chizing.

Yechim

Eslatib o'tamiz, vektor maydonining grafigi shunchaki nuqtalar to'plami uchun ma'lum nuqtalardagi vektorlarni chizadi. Bu vektor maydonlarini chizishni oddiy va qiyin qiladi. Vektorlarni hisoblash va ularning eskizini chizish oson, lekin qaysi nuqtalarni tanlash va qancha nuqtani tanlashni bilish qiyin, shuning uchun biz yaxshi eskiz olamiz.

Shunday qilib, keling, ba'zi vektorlarni aniq nuqtalarda hisoblashdan boshlaylik.

\[\begin{align*} \vec F\left( {0, - 1} \right) & = - 2\vec j & \hspace{0.5in} \vec F\left( {1,1} \right) & = 2\,\vec i - 2\vec j & \hspace{0.5in} \vec F\left( { - 1,0} \right) & = - 2\,\vec i - 2\vec j\\ \vec F\left( { - 2, - 1} \right) & = - 4\,\vec i - 2\vec j & \hspace{0.5in} \vec F\left( {1, - 1} \right) & = 2\,\vec i - 2\vec j& \hspace{0.5in}\vec F\left( {2,2} \right) & = 4\,\vec i - 2\vec j\\ \vec F\left( { - 2,1} \right) & = - 4\,\vec i - 2\vec j\end{align*}\]
2-qadam

Endi biz ushbu vektorlarning har birini ularni yaratgan nuqtada "eskiz" qilishimiz kerak. Masalan, \(\left( {0, - 1} \right)\) nuqtasida \( - 2\vec j\) vektorining eskizini chizamiz.

Mana bu vektorlarning eskizi.

A sketch of the seven vectors computed in the previous step, each drawn with its tail at the point that generated it, on a set of axes running from \(-2\) to 2 in both directions. Every vector points downward, since the \(\vec j\) component is always \(-2\), and each one tilts to the right at points lying to the right of the \(y\)-axis and to the left at points lying to the left of it, tilting more sharply the farther the point is from the \(y\)-axis. The vectors are sketched in the correct direction but not to scale, to keep the sketch easier to read.

Yuqoridagi eskizda biz ushbu vektorlarning har birini masshtablash uchun chizmadik. Boshqacha qilib aytganda, biz vektorni "to'g'ri" kattalik bilan chizish o'rniga, ko'rsatilgan vektor bilan bir xil yo'nalishdagi vektorlarni chizdik. Buning sababi eskizni ko'rishni biroz osonroq saqlashdir. Agar biz barcha vektorlarni masshtablash uchun chizgan bo'lsak, biz shunchaki bir-biriga o'xshash o'qlarni ko'ramiz, bunda nima bo'layotganini ko'rish qiyin bo'ladi.

Shuni ham yodda tutingki, biz chizgan bir nechta vektorlar bilan har qanday tasodifiy nuqtada nima sodir bo'layotganini haqiqiy his qilish qiyin. Ushbu eskiz yordamida biz ba'zi tendentsiyalarni ko'rishimiz mumkin, ammo biz bu tendentsiyalar hech qanday vektor chizilmagan "bo'sh" hududlarda davom etishini bilmaymiz.

3-qadam

Quyida yana ko'plab vektorlar chizilgan vektor maydonining yaxshiroq eskizi keltirilgan. Biz bu eskizni kompyuterga oldingi bosqichda bo'lgani kabi ulardan hech birini tanlamasdan, o'z-o'zidan bir nechta nuqtalarni chizish imkonini berish orqali oldik.

Umuman olganda, vektor maydonlari shunday chiziladi. Ushbu vektor sonini qo'lda hisoblash shunchalik ko'p vaqt talab qiladiki, bunga arzimaydi. Biroq, kompyuterlar barcha hisob-kitoblarni juda tez bajarishi mumkin va shuning uchun biz ularga eskizni bajarishga ruxsat beramiz.

A computer generated sketch of the vector field \(\vec F\left( {x,y} \right) = 2x\,\vec i - 2\vec j\) with a great many vectors drawn on a grid running from \(-2\) to 2 in both directions. Every vector points downward. Along the \(y\)-axis the vectors point straight down, and moving away from the \(y\)-axis they swing outward, pointing down and to the left on the left half of the sketch and down and to the right on the right half, becoming longer and more nearly horizontal the farther they are from the \(y\)-axis.