Bu muammo uchun bizda ikkita 1 bo'ladi^st hisoblash uchun xususiy hosilalarni buyurtma qiling.

Qisman lotinlar bilan mahsulot qoidalariga ehtiyot bo'ling. Misol uchun, ikkinchi atama, aniq mahsulot bo'lsa-da, mahsulot qoidasiga muhtoj bo'lmaydi, chunki mahsulotning har bir "omili" faqat \(u\) yoki \(v\) ni o'z ichiga oladi. Boshqa tomondan, \(u\) xususiy hosilasini bajarishda birinchi atama mahsulot qoidasiga muhtoj bo'ladi, chunki mahsulotning ikkala "omilida" \(u\) mavjud. Biroq, biz \(u\) xususiy hosilasi uchun birinchi atama bilan mahsulot qoidasini ishlab chiqishimiz kerakligi, biz \(v\) xususiy hosilasi uchun mahsulot qoidasini ishlab chiqishimiz kerakligini anglatmaydi, chunki mahsulotdagi faqat ikkinchi “omil” \(v\)ga ega. unda.

Asosan, qisman lotinlar bilan mahsulot qoidalarini "ortiqcha o'ylamaslik" uchun ehtiyot bo'ling. Ularni kerak bo'lganda bajaring, lekin mahsulotni ko'rganingiz uchun qilmaslikka ishonch hosil qiling. Mahsulotni ko'rganingizda, mahsulotning "omillari" ga qarang. Ikkala "omil" ham siz farqlayotgan o'zgaruvchiga egami yoki yo'qmi va agar ikkalasi ham shunday bo'lsa, mahsulot qoidasidan foydalaning.

Mana ikkitasi 1^st ushbu muammo uchun xususiy hosilalarni buyurtma qiling.

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*}\frac{{\partial f}}{{\partial u}} & = {f_u} = 2u\sin \left( {u + {v^3}} \right) + {u^2}\cos \left( {u + {v^3}} \right) - 4\sec \left( {4u} \right)tan\left( {4u} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {2v} \right)\\ \frac{{\partial f}}{{\partial v}} & = {f_v} = 3{v^2}{u^2}cos\left( {u + {v^3}} \right) - \frac{{2\sec \left( {4u} \right)}}{{1 + 4{v^2}}}\end{align*}}\]

Hosila uchun ishlatiladigan belgi muhim emas, shuning uchun biz ikkala shakl bilan tanish ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun ikkalasini ham ishlatdik.