16.2-bo'lim : Chiziqli integrallar - I qism
8. Quyidagi egri chiziqlarning har biri uchun \( \displaystyle \int\limits_{C}{{{y^3} - {x^2}\,ds}}\) ni baholang.
- \(C\) - \(\left( {3,6} \right)\) dan \(\left( {0,0} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti va undan keyin \(\left( {0,0} \right)\) dan \(\left( {3, - 6} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti.
- \(C\) - \(\left( {3,6} \right)\) dan \(\left( {3, - 6} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti.
Yechim
Keling, muammoning ushbu qismi uchun egri chiziqning qisqacha chizmasidan boshlaylik.
Shunday qilib, bu egri chiziq ikkita bo'lakdan iborat bo'lib, biz ularning har birini parametrlashimiz kerak, shuning uchun keyin bu haqda g'amxo'rlik qilaylik.
\({C_1}:\,\,\vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {3,6} \right\rangle + t\left\langle {0,0} \right\rangle = \left\langle {3 - 3t,6 - 6t} \right\rangle \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\)\({C_2}:\,\,\vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {0,0} \right\rangle + t\left\langle {3, - 6} \right\rangle = \left\langle {3t, - 6t} \right\rangle \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\)
Ushbu egri chiziqlarning har biri uchun biz ikkita nuqta orasidagi chiziq segmentining vektor shaklini ishlatdik. Birinchi holda, biz kerak edi, chunki yo'nalish kamayib borayotgan \(y\) yo'nalishida edi va integral chegaralar kichikroqdan kattaroq qiymatgacha bo'lishi kerakligini eslaylik. Ikkinchi holda, tenglamadan foydalanish juda oson bo'lar edi, lekin biz biroz yaxshi chegaralar uchun chiziqli segment shaklidan foydalanishga qaror qildik.
2-qadam
OK, endi biz ushbu egri chiziqlarning har biri bo'ylab chiziqli integralni hisoblashimiz kerak. Ushbu bo'limdagi birinchi bir nechta muammolardan farqli o'laroq, biz integratsiya bosqichidan oldin kattalik va integralni topdik, biz shunchaki to'g'ridan-to'g'ri integralga o'tamiz va u erda barcha ishlarni qilamiz.
Bu erda har bir egri chiziq bo'ylab integral mavjud.
\[\begin{align*}\int\limits_{{{C_1}}}{{{y^3} - {x^2}\,ds}} &= \int_{0}^{1}{{\left[ {{{\left( {6 - 6t} \right)}^3} - {{\left( {3 - 3t} \right)}^2}} \right]\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = \sqrt {45} \int_{0}^{1}{{{{\left( {6 - 6t} \right)}^3} - {{\left( {3 - 3t} \right)}^2}\,dt}}\\ & = \left. {3\sqrt 5 \left( { - \frac{1}{{24}}{{\left( {6 - 6t} \right)}^4} + \frac{1}{9}{{\left( {3 - 3t} \right)}^3}} \right)} \right|_0^1 = \underline {153\sqrt 5 } \end{align*}\] \[\begin{align*}\int\limits_{{{C_2}}}{{{y^3} - {x^2}\,ds}} &= \int_{0}^{1}{{\left[ {{{\left( { - 6t} \right)}^3} - {{\left( {3t} \right)}^2}} \right]\sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = \sqrt {45} \int_{0}^{1}{{ - 216{t^3} - 9{t^2}\,dt}}\\ & = \left. {3\sqrt 5 \left( { - 54{t^4} - 3{t^3}} \right)} \right|_0^1 = \underline { - 171\sqrt 5 } \end{align*}\]3-qadam
Yaxshi, bu muammoni hal qilish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa to'liq chiziqli integralni olish uchun ushbu egri chiziqlar ustiga chiziqli integrallarni qo'shishdir.
\[\int\limits_{C}{{{y^3} - {x^2}\,ds}} = \left( {153\sqrt 5 } \right) + \left( { - 171\sqrt 5 } \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 18\sqrt 5 }}\]Esda tutingki, biz har bir alohida chiziqli integral natijasiga uning qayerdan kelganini ko'rsatish uchun qavs qo'yamiz va ular umuman kerak emas.
b \(C\) - \(\left( {3,6} \right)\) dan \(\left( {3, - 6} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti.
Yechim
Keling, muammoning ushbu qismi uchun egri chiziqning qisqacha chizmasidan boshlaylik.
Demak, bu qismda bizda \(\left( {3,6} \right)\) dan \(\left( {3, - 6} \right)\) gacha bo'lgan boshqa egri chiziq mavjud. Ushbu egri chiziq birinchi qismdagi egri chiziq bilan bir xil boshlang'ich va tugash nuqtasiga ega bo'lishiga qaramay, chiziqli integrali bir xil qiymatga ega bo'lishini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. Shuning uchun biz ishni ko'rib chiqishimiz va chiziqli integraldan nimani olishimizni ko'rishimiz kerak.
Biz egri chiziqni parametrlashimiz kerak, shuning uchun bu haqda g'amxo'rlik qilaylik.
\(C:\,\,\vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {3,6} \right\rangle + t\left\langle {3, - 6} \right\rangle = \left\langle {3,6 - 12t} \right\rangle \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\)Bu egri chiziq \(y\) ni kamaytirish yo'nalishida bo'lgani uchun va integral kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatlarga o'tish uchun chegaralarini talab qiladi, biz ikkita nuqta orasidagi chiziq segmentining vektor shaklidan foydalanishimiz kerak edi.
2-qadam
Endi biz faqat chiziq integralini hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{{y^3} - {x^2}\,ds}} & = \int_{0}^{1}{{\left[ {{{\left( {6 - 12t} \right)}^3} - {{\left( 3 \right)}^2}} \right]\sqrt {{{\left( 0 \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = 12\int_{0}^{1}{{{{\left( {6 - 12t} \right)}^3} - 9\,dt}}\\ & = \left. {12\left( { - \frac{1}{{48}}{{\left( {6 - 12t} \right)}^4} - 9t} \right)} \right|_0^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 108}}\end{align*}\]Shunday qilib, ushbu qismning boshida ta'kidlanganidek, egri chiziqning bir xil boshlang'ich va tugash nuqtalariga qaramay, chiziqli integralning qiymati birinchi qismdagi chiziqli integralning qiymati bilan bir xil emas edi. E'tibor bering, bir xil boshlang'ich va tugash nuqtalari bo'lgan ikkita chiziqli integral bir xil qiymatga ega bo'lishi mumkin, ammo biz bunday bo'lishini kuta olmaymiz va shuning uchun ishni bajarishimiz kerak.