16.2-bo'lim : Chiziqli integrallar - I qism
5. \( \displaystyle \int\limits_{C}{{{x^2}{y^2}\,ds}}\) ni baholang, bu erda \(C\) - \(y = 4\) da \(y\) o'qi markazida joylashgan 2 radiusning boshiga markazlashgan doira. Orientatsiya uchun quyidagi eskizlarga qarang. E'tibor bering, 2D doiradagi "g'alati" o'q yo'nalishi ataylab 3D o'qi yo'nalishiga mos keladi.
Yechim
Egri chiziqni parametrlashdan oldin yuqoridagi 2D eskizdagi \(x\) o'qining "yo'nalishi" biz o'rganib qolganimizdan orqaga qarab ekanligini eslatib o'tamiz. Ushbu eskizda musbat \(x\) o'qi chapda va manfiy \(x\) o'qi o'ngda. Bu 3D tasvirga mos kelish uchun qilingan.
Agar biz \(y\) musbat o'qida bo'lganimizda (albatta 3D tasvirda) \(y = 4\) dan o'tgan bo'lsak va kelib chiqish joyiga qarasak, biz 2D eskizni ko'rar edik. 2D eskizni shu tarzda yaratish bizning parametrlashimiz to'g'ri yo'nalishga ega ekanligiga ishonch hosil qilishga yordam beradi.
Bu haqda gapiradigan bo'lsak, bu erda egri chiziqning parametrizatsiyasi.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {2\cos \left( t \right),4, - 2\sin \left( t \right)} \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\pi \]Agar siz \(t = 0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{{3\pi }}{2}\) da parametrlashtirishni tekshirsangiz, biz 2D eskizdagi egri chiziq uchun to'g'ri \(\left( {x,z} \right)\) koordinatalarini olishimizni ko'ramiz va shuning uchun biz 3D eskizdagi egri chiziq uchun ham to'g'ri koordinatalarni olamiz.
Shuni unutmangki, biz parametrlashda \(y = 4\) da ekanligimizni ham tan olishimiz kerak, i.e. parametrlashtirishning ikkinchi komponenti. Agar 3D egri chizig'idagi koordinatalardan biri doimiy bo'lsa, parametrlashtirishda u bilan ishlashni unutish oson.
2-qadam
Bizga parametrlash hosilasining kattaligi kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = \left\langle { - 2\sin \left( t \right),0, - 2\cos \left( t \right)} \right\rangle \\ \left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {{{\left( { - 2\sin \left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( 0 \right)}^2} + {{\left( { - 2\cos \left( t \right)} \right)}^2}} \\ & = \sqrt {4{{\sin }^2}\left( t \right) + 4{{\cos }^2}\left( t \right)} = \sqrt {4\left( {{{\sin }^2}\left( t \right) + {{\cos }^2}\left( t \right)} \right)} = \sqrt 4 = 2\end{align*}\]Bizga parametrlashda "baholangan" integral ham kerak bo'ladi. Esda tutingki, bularning barchasi biz \(x\)/ni almashtiramiz.y/z \(x\)/ bilan integralday/z parametrlashdan. Bu erda parametrlashda baholangan integral.
\[{x^2}{y^2} = {\left( {2\cos \left( t \right)} \right)^2}{\left( 4 \right)^2} = 64{\cos ^2}\left( t \right)\]3-qadam
U holda chiziqli integrali,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{{x^2}{y^2}\,ds}} & = \int_{0}^{{2\pi }}{{\left( {64{{\cos }^2}\left( t \right)} \right)\left( 2 \right)\,dt}} = \int_{0}^{{2\pi }}{{64\left( {1 + \cos \left( {2t} \right)} \right)\,dt}}\\ & = \left. {64\left( {t + \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)} \right)} \right|_0^{2\pi } = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{128\pi }}\end{align*}\]Ushbu integralni to'g'ri baholash uchun kosinus uchun ikki burchakli formuladan qanday foydalanishni eslaysizmi? Biz ushbu bobda trig funksiyalarini o'z ichiga olgan juda ko'p integrallarni ko'ramiz va bu turdagi integrallarni qanday bajarishni bilish muhim bo'ladi.