16.2-bo'lim : Chiziqli integrallar - I qism
Quyidagi egri chiziqlarning har biri uchun \( \displaystyle \int\limits_{C}{{2{x^3}\,ds}}\) ni baholang.
- \(C\) - \(y = {x^3}\)-ning \(x = - 1\)-dan \(x = 2\)-ga bo'lgan qismi.
- \(C\) - \(y = {x^3}\) qismi \(x = 2\) dan \(x = - 1\) gacha.
Yechim
Keling, muammoning ushbu qismi uchun egri chiziqning qisqacha chizmasidan boshlaylik.
Ushbu muammoning ikkinchi qismiga kelganimizdan keyin aniq bo'ladigan sabablarga ko'ra keling, bu egri chiziqni \(C\) o'rniga \({C_1}\) deb ataymiz. Mana, \({C_1}\) parametrizatsiyasi.
\({C_1}:\,\,\vec r\left( t \right) = \left\langle {t,{t^3}} \right\rangle \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\, - 1 \le t \le 2\)2-qadam
Mana bu egri chiziq uchun integrali.
\[\begin{align*}\int\limits_{{{C_1}}}{{2{x^3}\,ds}} & = \int_{{ - 1}}^{2}{{2{{\left( t \right)}^3}\sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( {3{t^2}} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = \int_{{ - 1}}^{2}{{2{t^3}\sqrt {1 + 9{t^4}} \,dt}}\\ & = \left. {\frac{1}{{27}}{{\left( {1 + 9{t^4}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{ - 1}^2 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{27}}\left( {{{145}^{\frac{3}{2}}} - {{10}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 63.4966}}\end{align*}\]b \(C\) - \(y = {x^3}\) dan \(x = 2\) dan \(x = - 1\) gacha bo'lgan qism.
Yechim
Endi, oldingi qismda qilganimizdek, keling, bu egri chiziqni \(C\) o‘rniga \({C_2}\) deb “qayta nomlaymiz”.
Keyinchalik, bu egri chiziq qarama-qarshi yo'nalishdagi birinchi qadamdagi egri chiziq ekanligini unutmang. Boshqacha qilib aytganda, bizda bu \({C_2} = - {C_1}\) mavjud. Mana, to'liqlik uchun \({C_2}\) ning qisqacha eskizi.
2-qadam
Endi, bu nuqtada biz integralni baholash uchun ikki xil usuldan foydalanishimiz mumkin.
Birinchi usul shuni ko'rsatadiki, agar biz egri chiziqning yo'nalishini almashtirsak, bu turdagi chiziqli integralning qiymati o'zgarmaydi. Ushbu faktni ushbu qismdagi egri chiziq va birinchi qismdagi egri chiziq o'rtasidagi munosabat bilan birgalikda ishlatib, i.e. \({C_2} = - {C_1}\) , chiziqli integrali shunchaki,
\[\int\limits_{{{C_2}}}{{2{x^3}\,ds}} = \int\limits_{{ - {C_1}}}{{2{x^3}\,ds}} = \int\limits_{{{C_1}}}{{2{x^3}\,ds}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{1}{{27}}\left( {{{145}^{\frac{3}{2}}} - {{10}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 63.4966}}\]E'tibor bering, yuqoridagi birinchi tenglik belgisi faqat ikkita egri chiziq o'rtasidagi munosabatni tan oldi. Ikkinchi tenglik belgisi - biz qaydlardagi faktdan foydalanganmiz.
Bu muammoni hal qilishning "oson" usuli. Shu bilan bir qatorda, biz egri chiziqni parametrlashimiz va chiziqli integralni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashimiz mumkin. Biz buni muammoning qolgan qismida qanday qilishimizni ko'rsatish uchun qilamiz.
3-qadam
Endi, agar biz ushbu egri chiziqni parametrlashtirmoqchi bo'lsak va ko'rsatilgan yo'nalishga amal qilsak, biz faqat birinchi qismdan parametrlashdan foydalana olmaymiz, keyin esa "orqaga qaytish" uchun integraldagi chegaralarni "aylantiramiz". Chiziqli integrallar shunchaki ishlamaydi. Chiziqli integrallarning chegaralari kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatga o'tishi kerak.
Ushbu egri chiziq uchun ko'rsatilgan yo'nalishda egri chiziqni kuzatib turadigan yangi parametrlash kerak. Yaxshiyamki, bu holatda buni qilish juda oddiy. Biz faqat \(x = - t\)ga ruxsat berishimiz kerak, chunki \(t\) \(t = - 2\) dan \(t = 1\) gacha. Shunday qilib, \(t\) ortishi bilan \(x\) \(x = 2\) dan \(x = - 1\) ga o'tadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, \(t\) o'sishida \(x\) egri chiziq yo'nalishini kuzatishimiz uchun kerak bo'lganda kamayadi.
Endi bizda \(x\) \(y\)-ga g'amxo'rlik qilish oson, chunki biz egri chiziq tenglamasini bilamiz. \(y\) uchun parametrik tenglamani olish uchun faqat \(x\) uchun parametrik tenglamani egri chiziq tenglamasiga kiritishimiz kifoya. Yoki,
\[y = {\left( { - t} \right)^3} = - {t^3}\]Bularning barchasini birlashtirib, egri chiziqning quyidagi parametrlanishini olamiz.
\({C_2}:\,\,\vec r\left( t \right) = \left\langle { - t - {t^3}} \right\rangle \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\, - 2 \le t \le 1\)4-qadam
Endi biz faqat chiziq integralini hisoblashimiz kerak.
\[\begin{align*}\int\limits_{{{C_2}}}{{2{x^3}\,ds}} & = \int_{{ - 2}}^{1}{{2{{\left( { - t} \right)}^3}\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3{t^2}} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = \int_{{ - 2}}^{1}{{ - 2{t^3}\sqrt {1 + 9{t^4}} \,dt}}\\ & = \left. { - \frac{1}{{27}}{{\left( {1 + 9{t^4}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{ - 2}^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{1}{{27}}\left( {{{10}^{\frac{3}{2}}} - {{145}^{\frac{3}{2}}}} \right) = 63.4966}}\end{align*}\]Demak, bu qismning chiziqli integrali biz kutganimizdek, birinchi qismdagi chiziqli integrali bilan aynan bir xil qiymatga ega edi.