Endi, belgilangan yoʻnalish bilan biz egri chiziq boʻylab belgilangan yoʻnalishda harakat qilganimizda \(x\) kamayib borayotganini koʻrishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, biz chiziq tenglamasini aniqlab, muammoni hal qilish uchun foydalana olmaymiz. Chiziq tenglamasidan foydalanish bizdan \(x\) ni oshirishni talab qiladi, chunki integraldagi chegaralar kichikroqdan kattaroq qiymatga o'tishi kerak.

Biz, albatta, chiziq tenglamasidan foydalanishga imkon berish uchun chiziq integralini belgilangan yo'nalish bilan va chiziqli integralni qarama-qarshi yo'nalish bilan bog'laydigan eslatmalardan foydalanishimiz mumkin. Biroq, bu muammoni hal qilish uchun keling, bunday muammoni hal qilishimiz mumkinligiga ishonch hosil qilish uchun faktlarsiz muammo bilan ishlaylik

Shunday qilib, biz ushbu chiziqni parametrlashimiz kerak va biz ikkita nuqta orasidagi chiziq tenglamasini qanday parametrlashni bilamiz. Bu erda chiziqni parametrlashtirishning vektor shakli.

\[\vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {3,6} \right\rangle + t\left\langle {1, - 1} \right\rangle = \left\langle {3 - 2t,6 - 7t} \right\rangle \,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\]

Biz buni quyidagi kabi parametr shakliga ham ajratishimiz mumkin.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 6 - 7t}\end{array}\hspace{0.25in}0 \le t \le 1\]

Parametrlashtirishning har qanday shakli muammo uchun ishlaydi, ammo biz ushbu muammoning qolgan qismi uchun vektor shaklidan foydalanamiz.

Bizga parametrlash hosilasining kattaligi kerak bo'ladi, shuning uchun uni olamiz.

\[\vec r'\left( t \right) = \left\langle { - 2, - 7} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} = \sqrt {53} \]

Bizga parametrlashda "baholangan" integral ham kerak bo'ladi. Bularning barchasini eslang, biz integranddagi \(x\)/\(y\) ni parametrlashdan \(x\)/\(y\) bilan almashtiramiz. Bu erda parametrlashda baholangan integral.

\[3{x^2} - 2y = 3{\left( {3 - 2t} \right)^2} - 2\left( {6 - 7t} \right) = 3{\left( {3 - 2t} \right)^2} - 12 + 14t\]

U holda chiziqli integrali,

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{3{x^2} - 2y\,ds}} & = \int_{0}^{1}{{\left( {3{{\left( {3 - 2t} \right)}^2} - 12 + 14t} \right)\sqrt {53} \,dt}}\\ & = \sqrt {53} \left. {\left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {3 - 2t} \right)}^3} - 12t + 7{t^2}} \right]} \right|_0^1 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{8\sqrt {53} }}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz integralda birinchi hadni ko'paytirmadik, chunki biz integralni bajarish uchun tez almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin edi.