13.1-bo'lim : Limitlar
4. Quyidagi limitni hisoblang.
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^2} - {y^6}}}{{x{y^3}}}\]Yechim
Xo‘sh, bu muammo bilan biz nuqtani qo'ysak, surat va maxrajda nolga ega bo‘lishini ko‘rishimiz mumkin. Yuqoridagi ikkinchi muammodan farqli o'laroq, buni "bajarish mumkin bo'lgan" chegaraga aylantirish uchun hech qanday ko'paytuvchilarga ajratish yo'q.
Shuning uchun biz muammoni chegara yo'qdek davom ettiramiz.
2-qadam
Shunday qilib, biz limit mavjud emas deb taxmin qilganimiz sababli, chegara turli qiymatlarga ega bo'lgan ikki xil yo'lni topishimiz kerakligini anglatadi.
Bunday holda, \(x\) yoki \(y\) o'qlaridan foydalanish ishlamasligiga e'tibor bering, chunki ularning ikkalasi ham nolga bo'linish muammosiga olib keladi. Shunday qilib, keling, \(x = {y^3}\) yo'lidan foydalanishni boshlaylik.
Bu yo'lda biz boramiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^2} - {y^6}}}{{x{y^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {{y^3},y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{y^6} - {y^6}}}{{{y^3}{y^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {{y^3},y} \right) \to \left( {0,0} \right)} 0 = 0\]3-qadam
Endi ikkinchi yo'l uchun \(x = y\) ni sinab ko'raylik.
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^2} - {y^6}}}{{x{y^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {y,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{y^2} - {y^6}}}{{y{y^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {y,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{1 - {y^4}}}{{{y^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {y,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left( {\frac{1}{{{y^2}}} - {y^2}} \right) = \infty \]4-qadam
Shunday qilib, bizda chegaraning turli qiymatlarini beradigan ikki xil yo'l bor va shuning uchun biz endi bu chegara ekanligini bilamiz mavjud emas.