Kleraut teoremasining tabiiy kengayishi orqali biz bu xususiy hosilalarni istalgan tartibda bajarishimiz mumkinligini bilamiz.

Bunday holda, ikkinchi muddatning \(y\) hosilalari bizda ulardan to'rttasi borligini hisobga olsak, bir nuqtada yoqimsiz bo'ladi. Biroq, ikkinchi atama \({x^2}\) va biz oxir-oqibat bajarishimiz kerak bo'lgan uchta \(x\) hosilasi mavjud. Shunday qilib, ikkinchi atama uchinchi \(x\) hosilasi bilan nolga farqlanadi. Shunday qilib, keling, \(y\) hosilalaridan oldin uchta \(x\) hosilasini yaratish uchun Clairaut-dan ko'p foydalanamiz, shuning uchun ikkinchi atama bilan "tartibsiz" \(y\) hosilalari bilan shug'ullanishimiz shart emas.

Bu erda biz olishimiz kerak bo'lgan birinchi hosila.

\[{G_x} = 2{y^4}cos\left( {2x} \right) + 2x{\left( {{y^{10}} - \cos \left( {{y^2}} \right)} \right)^7}\]

E'tibor bering, agar biz bir nechta \(y\) hosilalarini birinchi bo'lib bajargan bo'lsak, ikkinchisi mahsulot qoidasi bo'lar edi va biz birinchi bo'lib \(x\) hosilasini qilganimiz sababli, ikkinchi muddatning "tartibsiz" \(u\) hosilalari haqida har bir ish kerak bo'lmaydi.

2-qadam

Ikkinchi hosila,

\[{G_{x\,x}} = - 4{y^4}sin\left( {2x} \right) + 2{\left( {{y^{10}} - \cos \left( {{y^2}} \right)} \right)^7}\]

3-qadam

Uchinchi hosila,

\[{G_{x\,x\,x}} = - 8{y^4}\cos \left( {2x} \right)\]

4-qadam

To'rtinchi hosila,

\[{G_{x\,x\,x\,y}} = - 32{y^3}\cos \left( {2x} \right)\]

5-qadam

Beshinchi hosila,

\[{G_{x\,x\,x\,y\,y}} = - 96{y^2}\cos \left( {2x} \right)\]

6-qadam

Oltinchi hosila,

\[{G_{x\,x\,x\,y\,y\,y}} = - 192y\cos \left( {2x} \right)\]

7-qadam

Ushbu muammo uchun bizga kerak bo'lgan ettinchi va oxirgi hosila:

\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{G_{y\,y\,y\,x\,x\,x\,y}} = {G_{x\,x\,x\,y\,y\,y\,y}} = - 192\cos \left( {2x} \right)}}\]