13.4-bo'lim : Yuqori tartibli xususiy hosilalar
8. \(w = {u^2}{{\bf{e}}^{ - 6v}} + \cos \left( {{u^6} - 4u + 1} \right)\) berilgan \({w_{v\,u\,u\,v\,v}}\) toping.
Yechim
Kleraut teoremasining tabiiy kengayishi orqali biz bu xususiy hosilalarni istalgan tartibda bajarishimiz mumkinligini bilamiz. Biroq, bu holatda muammo bayonotida ko'rsatilgan tartibdan boshqa hech qanday sabab yo'qdek tuyuladi.
Bu erda biz olishimiz kerak bo'lgan birinchi hosila.
\[{w_v} = - 6{u^2}{{\bf{e}}^{ - 6v}}\]E'tibor bering, agar biz bir nechta \(u\) hosilalarini birinchi bo'lib bajargan bo'lsak, ikkinchi hosila mahsulot qoidasi bo'lar edi. Biz birinchi marta \(v\) hosilasini yaratganimiz sababli, ikkinchi atamaning "tartibsiz" \(u\) hosilalari haqida tashvishlanishga hojat yo'q, chunki bu atama \(v\)ga nisbatan farqlashda nolga farqlanadi.
2-qadam
Ikkinchi hosila,
\[{w_{v\,u}} = - 12u{{\bf{e}}^{ - 6v}}\]3-qadam
Uchinchi hosila,
\[{w_{v\,u\,u}} = - 12{{\bf{e}}^{ - 6v}}\]4-qadam
To'rtinchi hosila,
\[{w_{v\,u\,u\,v}} = 72{{\bf{e}}^{ - 6v}}\]5-qadam
Ushbu muammo uchun bizga kerak bo'lgan beshinchi va oxirgi hosila:
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{{w_{v\,u\,u\,v\,v}} = - 432{{\bf{e}}^{ - 6v}}}}\]