16.7-bo'lim : Grin teoremasi
4. \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\left( {{y^4} - 2y} \right)\,dx - \left( {6x - 4x{y^3}} \right)\,dy}}\) ni baholash uchun Grin teoremasidan foydalaning, bu erda \(C\) quyida ko'rsatilgan.
Yechim
Xo'sh, birinchi navbatda e'tibor bering, agar biz yo'l bo'ylab ko'rsatilgan yo'nalishda yuradigan bo'lsak, chap qo'limiz yopiq maydon ustida bo'ladi va shuning uchun bu yo'l ijobiy yo'nalishga ega va biz integralni baholash uchun Grin teoremasidan foydalanishimiz mumkin.
Bizda mavjud integraldan,
\[P = {y^4} - 2y\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}Q = - \left( {6x - 4x{y^3}} \right) = 4x{y^3} - 6x\]Esda tutingki, \(P\) \(x\) ga, \(Q\) esa \(y\) ga ko'paytiriladi va belgilarga e'tibor berishni unutmang. Shoshilinch va shartlardan birining oldidagi belgini o'tkazib yuborish oson.
2-qadam
Green teoremasidan foydalanib, chiziqli integralga aylanadi,
\[\int\limits_{C}{{\left( {{y^4} - 2y} \right)\,dx - \left( {6x - 4x{y^3}} \right)\,dy}} = \iint\limits_{D}{{4{y^3} - 6 - \left( {4{y^3} - 2} \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{ - 4\,dA}} = - 4\iint\limits_{D}{{\,dA}}\]\(D\) - egri chiziq bilan o'ralgan hudud.
3-qadam
OK, biz bu muammoni deyarli hal qildik. Integraldan "-4" ni faktorlarga ajratgandan so'ng, biz integralni baholashni tugatish uchun quyidagi faktdan foydalanishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\left( {{y^4} - 2y} \right)\,dx - \left( {6x - 4x{y^3}} \right)\,dy}} & = - 4\iint\limits_{D}{{\,dA}}\\ & = - 4\left( {{\mbox{Area of }}D} \right) = - 4\left[ {\left( 6 \right)\left( 4 \right)} \right] = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 96}}\end{align*}\]Shuni unutmangki,
\[\iint\limits_{D}{{\,dA}} = \mbox{Area of }D\]Bu juda foydali fakt. Bu tez-tez paydo bo'lmaydi, lekin bu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ish hajmini kamaytirishi mumkin.
Albatta, agar \(D\) maydonni osongina aniqlashimiz mumkin bo'lgan mintaqa bo'lsa va bu holda \(D\) shunchaki to'rtburchak bo'lib, muammo bayonidagi grafikdan kenglik 6 va balandlik 4 ni osongina olishimiz mumkin bo'lsa, bu haqiqat haqiqatan ham foydalidir.