16.7-bo'lim : Grin teoremasi
3. \(C\) quyida ko'rsatilgan \( \displaystyle \int\limits_{C}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}}\) ni baholash uchun Green teoremasidan foydalaning.
Yechim
Xo'sh, birinchi navbatda shuni ta'kidlaymizki, agar biz ko'rsatilgan yo'nalish bo'yicha yursak, chap qo'l yopiq maydon ustida EMAS, shuning uchun bu yo'l ijobiy yo'nalishga ega bo'lmaydi. Bu, o'z navbatida, biz berilgan integralni baholash uchun Grin teoremasidan foydalana olmasligimizni anglatadi.
Biroq, agar \(C\) manfiy yo'nalishga ega bo'lsa, -\(C\) ijobiy yo'nalishga ega bo'ladi va biz bu ikki egri chiziq ustidagi chiziqli integrallarning qiymatlarini qanday bog'lashni bilamiz. Xususan, biz bilamizki,
\[\int\limits_{C}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}} = - \int\limits_{{ - C}}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}}\]Shunday qilib, muammo bayonotida integralning qiymatini hisoblash uchun Grin teoremasidan foydalanish o'rniga biz quyidagi integralning qiymatini hisoblash uchun Grin teoremasidan foydalanamiz.
\[\int\limits_{{ - C}}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}}\]Ushbu integraldan biz,
\[P = {x^2}{y^2}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}Q = y{x^3} + {y^2}\]Esda tutingki, \(P\) \(x\) ga, \(Q\) esa \(y\) ga ko'paytiriladi.
2-qadam
Green teoremasidan foydalanib, \( - C\) dan yuqori chiziqli integralga aylanadi,
\[\int\limits_{{ - C}}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}} = \iint\limits_{D}{{3y{x^2} - 2y{x^2}\,dA}} = \iint\limits_{D}{{y{x^2}\,dA}}\]\(D\) - egri chiziq bilan o'ralgan mintaqa.
3-qadam
Mintaqaning yuqori qismidagi chiziq tenglamasi \(y = \frac{1}{2}x\) tomonidan va mintaqaning pastki qismidagi chiziq tenglamasi \(y = - 2x\) tomonidan berilganligini tekshirish uchun buni sizga qoldiramiz. Ushbu tenglamalarga ega bo'lganimizdan so'ng, mintaqa uchun chegaralarni olish juda oson. Ular,
\[\begin{array}{c}0 \le x \le 4\\ \displaystyle - 2x \le y \le \frac{1}{2}x\end{array}\]4-qadam
Endi biz faqat \( - C\) dan chiziqli integral qiymatini olish uchun ikki karrali integralni baholashimiz kerak. Bu erda baholash ishi.
\[\begin{align*}\int\limits_{{ - C}}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}} & = \iint\limits_{D}{{y{x^2}\,dA}}\\ & = \int_{0}^{4}{{\int_{{ - 2x}}^{{\frac{1}{2}x}}{{y{x^2}\,dy}}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{\left. {\frac{1}{2}{y^2}{x^2}} \right|_{ - 2x}^{\frac{1}{2}x}\,dx}}\\ & = \int_{0}^{4}{{ - \frac{{15}}{8}{x^4}\,dx}}\\ & = \left. { - \frac{{3{x^5}}}{8}} \right|_0^4 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 384}}\end{align*}\]5-qadam
Xo'sh, endi biz 4-bosqichdagi integral bizdan qiymatini topish so'ralgan integral emasligini unuta olmaymiz. \(C\) va –\(C\) ustidagi integrallarning qiymati o'rtasidagi munosabatdan foydalanib, biz bilamizki, bizdan hisoblashimiz so'ralgan integralning qiymati,
\[\int\limits_{C}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}} = - \int\limits_{{ - C}}{{{x^2}{y^2}\,dx + \left( {y{x^3} + {y^2}} \right)\,dy}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{384}}\]