16.5-bo'lim : Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema
4. \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\vec r}}\) ni baholang, bu erda \(f\left( {x,y} \right) = {{\bf{e}}^{x\,y}} - {x^2} + {y^3}\) va \(C\) quyida ko'rsatilgan egri chiziqdir.
Yechim
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha sodda. Biz 3 xil chiziqli integralni (eskizdagi har bir egri chiziq uchun bittadan) hisoblashimiz shart emas.
Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - biz gradient vektor funktsiyasi uchun chiziqli integralini bajarayotganimizga e'tibor berishdir va shuning uchun bu masalani hal qilish uchun chiziqli integrallar uchun asosiy teoremadan foydalanishimiz mumkin.
Integralni baholash uchun asosiy teoremadan foydalanish quyidagilarni beradi:
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\vec r}} &= f\left( {{\rm{end point}}} \right) - f\left( {{\rm{start point}}} \right)\\ & = f\left( {0, - 2} \right) - f\left( { - 2,0} \right)\\ & = - 7 - \left( { - 3} \right) = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 4}}\end{align*}\]Esda tutingki, barcha asosiy teorema egri chiziqning boshlang'ich va tugash nuqtasi va gradient vektor maydonini yaratish uchun ishlatiladigan funktsiyani talab qiladi.