16.5-bo'lim : Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema
3. \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}}\) \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}}\) yo'lini hisoblashdan mustaqil ekanligini hisobga olsak, bu erda \(C\) \(\displaystyle \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) tomonidan soat miliga teskari aylanish bilan berilgan ellipsdir.
Yechim
Bir qarashda bu muammo imkonsizdek tuyuladi, chunki muammo uchun vektor maydoni ham berilmagan. Biroq, bu juda oddiy va muammoni hal qilish uchun vektor maydoni kerak emas.
Muammo bayonotida ikkita muhim narsani ta'kidlash kerak.
Birinchidan, va bundan ham muhimi, muammo bayonida bizga integral yo'ldan mustaqil ekanligi aytiladi.
Ikkinchidan, bizga C egri chizig'i to'liq ellips ekanligi aytiladi. \(C\) ellips ekanligi muhim emas. Muhimi, \(C\) yopiq egri chiziq ekanligi.
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa eslatmalardan 4-faktdan foydalanishdir. Bu, agar integral yo'ldan mustaqil bo'lsa, yopiq yo'l atrofidagi ushbu turdagi chiziqli integralning qiymati nolga teng bo'lishini aytadi. Shuning uchun,
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\vec r}} = 0}}\]