16.5-bo'lim : Chiziqli integrallar uchun asosiy teorema
2. \( \displaystyle \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\vec r}}\) ni baholang, bu erda \(f\left( {x,y} \right) = y{{\bf{e}}^{{x^{\,2}} - 1}} + 4x\sqrt y \) va \(C\) \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {1 - t,2{t^2} - 2t} \right\rangle \) tomonidan \(0 \le t \le 2\) bilan berilgan.
Yechim
Haqiqatan ham bu muammoni hal qilish uchun unchalik ko'p narsa yo'q. Biz gradient vektor maydoni orqali integrallashyapmiz va shuning uchun integral chiziqli integrallar uchun asosiy teoremadan foydalanish uchun o'rnatiladi.
Buning uchun bizga quyidagi ikkita "nuqta" kerak bo'ladi.
\[\vec r\left( 0 \right) = \left\langle {1,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r\left( 2 \right) = \left\langle { - 1,4} \right\rangle \]Esda tutingki, biz bularni mos ravishda \(\left( {1,0} \right)\) va \(\left( { - 1,4} \right)\) nuqtalarining pozitsiya vektor ko'rinishlari sifatida o'ylaymiz.
2-qadam
Endi integralni baholash uchun oddiygina asosiy teoremani qo'llang.
\[ \displaystyle \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\vec r}} = f\left( {\vec r\left( 2 \right)} \right) - f\left( {\vec r\left( 0 \right)} \right) = f\left( { - 1,4} \right) - f\left( {1,0} \right) = - 4 - 0 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - 4}}\]