16.6-bo'lim : Konservativ vektor maydonlari
7. Quyidagi vektor maydoni uchun potensial funksiyani toping.
\[\vec F = \frac{{2xy}}{{{z^3}}}\vec i + \left( {2y - {z^2} + \frac{{{x^2}}}{{{z^3}}}} \right)\vec j - \left( {4{z^3} + 2yz + \frac{{3{x^2}y}}{{{z^4}}}} \right)\vec k\]Yechim
Endi, muammo qanday so'ralganiga asoslanib, biz vektor maydonini konservativ deb taxmin qilishimiz mumkin va biz buni 3D vektor maydoni uchun qanday tekshirishni bilmasligimiz uchun, biz bunga ishonishimiz kerak.
Muammoni quyidagicha hal qilishni osonlashtirish uchun komponentlarning har birini belgilash orqali muammoni boshlaylik.
\[\begin{align*}P & = \frac{{2xy}}{{{z^3}}}\\ Q & = 2y - {z^2} + \frac{{{x^2}}}{{{z^3}}}\\ R & = - \left( {4{z^3} + 2yz + \frac{{3{x^2}y}}{{{z^4}}}} \right) = - 4{z^3} - 2yz - \frac{{3{x^2}y}}{{{z^4}}}\end{align*}\]Ushbu muammolar bilan ehtiyot bo'ling va vektor komponentlaridagi belgilarga qarang. Talabalarning bu masalalarda eng katta xatolaridan biri vektor maydonining uchinchi komponenti oldidagi minus belgisini o'tkazib yuborishdir. Albatta, har doim ham minus belgisi bo'lmaydi, lekin ba'zida bittasi bo'ladi va agar biz uni o'tkazib yuborsak, muammoning qolgan qismini hal qilish juda qiyin bo'ladi. Aslida, agar biz uni o'tkazib yuborsak, vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani topa olmaymiz!
2-qadam
Ushbu vektor maydonining potentsial funktsiyasini topish uchun biz avval \(P\) ni \(x\) ga nisbatan integrallashimiz, \(Q\) ni \(y\) yoki \(R\) ni \(z\) ga nisbatan integrallashimiz kerakligini bilamiz. Qaysi birini tanlashimiz muhim emas va bu holda ularning hech biri boshqasidan qiyinroq bo'lmaydi.
Bunday holda, \(R\) juda ko'p atamalarga ega, shuning uchun keling, avval uni birlashtiraylik, chunki bu keyingi bosqichlarda \(P\) va \(Q\) bilan ishlashda kamroq ishlashni anglatishi mumkin.
\[\begin{align*}f\left( {x,y,z} \right) & = \int{{R\,dz}}\\ & = \int{{ - 4{z^3} - 2yz - 3{x^2}y\,{z^{ - 4}}\,dz}}\\ & = - {z^4} - y{z^2} + {x^2}y\,{z^{ - 3}} + h\left( {x,y} \right)\end{align*}\]Shuni unutmangki, bu holda, biz \(z\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli “integratsiya doimiysi” \(x\) va/yoki \(y\) funksiyasi bo‘ladi!
3-qadam
Keyinchalik, funktsiyani \(x\) ga nisbatan oldingi bosqichdan farqlashimiz va \(P\) ga teng o'rnatishimiz yoki \(y\) ga nisbatan funktsiyani farqlashimiz va \(Q\) ga teng o'rnatishimiz mumkin.
Bu holda \(y\) ga nisbatan farqlaylik.
\[{f_y} = - {z^2} + {x^2}\,{z^{ - 3}} + {h_y}\left( {x,y} \right) = 2y - {z^2} + {x^2}{z^{ - 3}} = Q\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{h_y}\left( {x,y} \right) = 2y\]Endi eslang, chunki biz 2-bosqichda \(z\) ga nisbatan \(h\left( {x,y} \right)\) va shuning uchun \({h_y}\left( {x,y} \right)\) ni birlashtirganimiz uchun faqat \(x\) va \(y\) funksiyasi bo‘lishi kerak (bu holatda bo‘lgani kabi). Agar \({h_y}\left( {x,y} \right)\)-da biron bir \(z\) bo'lganida, biz bu nuqtada nimadir noto'g'ri ekanligini bilar edik. Yoki biz biror joyda xato qildik yoki vektor maydoni konservativ emas edi.
Shuni ham yodda tutingki, \({h_y}\left( {x,y} \right)\)da \(x\) va \(y\) bo'lishini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. O'zgaruvchilardan biri (yoki ikkalasi) mavjud bo'lmasligi mutlaqo mumkin!
4-qadam
Endi biz \({h_y}\left( {x,y} \right)\) formulasining ikkala tomonini \(y\) ga nisbatan birlashtira olamiz:
\[\,h\left( {x,y} \right) = {y^2} + g\left( x \right)\]Endi, chunki \(h\left( {x,y} \right)\) \(x\) va \(y\) funksiyasi bo‘lgan va biz bu yerda \(y\) ga nisbatan integratsiyalashganmiz, bu holda “integratsiya doimiysi” bu holda \(x\), \(g\left( x \right)\) funksiyasi bo‘lishi kerak.
Potentsial funktsiya endi,
\[f\left( {x,y,z} \right) = - {z^4} - y{z^2} + {x^2}y\,{z^{ - 3}} + {y^2} + g\left( x \right)\]5-qadam
Keyinchalik, biz \(x\) ga nisbatan 4-bosqichdan potentsial funktsiyani farqlashimiz va \(P\) ga tenglashtirishimiz kerak. Shunday qilib,
\[{f_x} = 2xy\,{z^{ - 3}} + g'\left( x \right) = 2xy{z^{ - 3}} = P\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}g'\left( x \right) = 0\]Esda tutingki, 3-bosqichda bo'lgani kabi, biz bu erda qanday o'zgaruvchini farqlayotganimizni eslashimiz kerak. Bu holda biz \(x\) va \(g\left( x \right)\) ga nisbatan farqlanyapmiz, faqat \(x\) funktsiyasi bo'lishi kerak. Agar \(g'\left( x \right)\)da \(y\) yoki \(z\) bo'lsa, biz xato qilganimizni yoki vektor maydoni konservativ emasligini bilgan bo'lardik.
Bundan tashqari, ushbu muammoda ko'rsatilganidek, \(g'\left( x \right)\)-da \(x\) umuman bo'lmasligi mumkin.
6-qadam
5-bosqichdagi \(g'\left( x \right)\) formulasining ikkala tomonini birlashtirib, bizda \(g\left( x \right) = c\) bo‘lishi kerakligini ko‘ramiz.
7-qadam
Nihoyat, hamma narsani birlashtirib, vektor maydoni uchun quyidagi potentsial funktsiyani olamiz.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( {x,y,z} \right) = - {z^4} - y{z^2} + {x^2}y\,{z^{ - 3}} + {y^2} + c}}\]