16.6-bo'lim : Konservativ vektor maydonlari
6. Quyidagi vektor maydoni uchun potensial funksiyani toping.
\[\vec F = \left( {2{z^4} - 2y - {y^3}} \right)\vec i + \left( {z - 2x - 3x{y^2}} \right)\vec j + \left( {6 + y + 8x{z^3}} \right)\vec k\]Yechim
Endi, muammo qanday so'ralganiga asoslanib, biz vektor maydonini konservativ deb taxmin qilishimiz mumkin va biz buni 3D vektor maydoni uchun qanday tekshirishni bilmasligimiz uchun, biz bunga ishonishimiz kerak.
Muammoni quyidagicha hal qilishni osonlashtirish uchun komponentlarning har birini belgilash orqali muammoni boshlaylik.
\[\begin{align*}P & = 2{z^4} - 2y - {y^3}\\ Q & = z - 2x - 3x{y^2}\\ R & = 6 + y + 8x{z^3}\end{align*}\]2-qadam
Ushbu vektor maydonining potentsial funktsiyasini topish uchun biz avval \(P\) ni \(x\) ga nisbatan integrallashimiz, \(Q\) ni \(y\) yoki \(R\) ni \(z\) ga nisbatan integrallashimiz kerakligini bilamiz. Qaysi birini tanlaganimiz muhim emas va bu holda ularning hech biri boshqalardan qiyinroq bo'lmaydi.
Shunday qilib, keling, ushbu muammo uchun quyidagi integratsiyaga o'taylik.
\[\begin{align*}f\left( {x,y,z} \right) & = \int{{Q\,dy}}\\ & = \int{{z - 2x - 3x{y^2}\,dy}}\\ & = zy - 2xy - x{y^3} + h\left( {x,z} \right)\end{align*}\]Shuni unutmangki, bu holda, biz \(y\) ga nisbatan integratsiyalashganimiz sababli “integratsiya doimiysi” \(x\) va/yoki \(z\) funksiyasi bo‘ladi!
3-qadam
Keyinchalik, funktsiyani \(x\) ga nisbatan oldingi bosqichdan farqlashimiz va \(P\) ga teng o'rnatishimiz yoki \(z\) ga nisbatan funktsiyani farqlashimiz va \(R\) ga teng o'rnatishimiz mumkin.
Shunga qaramay, hech biri boshqasidan qiyinroq ko'rinmaydi, shuning uchun \(z\) bilan farq qilaylik.
\[{f_z} = y + {h_z}\left( {x,z} \right) = 6 + y + 8x{z^3} = R\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{h_z}\left( {x,z} \right) = 6 + 8x{z^3}\]Endi eslang, chunki biz \(y\) ga nisbatan 2-bosqichda integratsiyalashgan \(h\left( {x,z} \right)\) va shuning uchun \({h_z}\left( {x,z} \right)\) faqat \(x\) va \(z\) funksiyalari bo‘lishi kerak (bu holatda bo‘lgani kabi). Agar \({h_z}\left( {x,z} \right)\)-da biron bir \(y\) bo'lganida, biz bu nuqtada nimadir noto'g'ri ekanligini bilar edik. Yoki biz biror joyda xato qildik yoki vektor maydoni konservativ emas edi.
Shuni ham yodda tutingki, \({h_z}\left( {x,z} \right)\)da \(x\) va \(z\) bo'lishini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. O'zgaruvchilardan biri (yoki ikkalasi) mavjud bo'lmasligi mutlaqo mumkin!
4-qadam
Endi biz \({h_z}\left( {x,z} \right)\) formulasining ikkala tomonini \(z\) ga nisbatan birlashtira olamiz:
\[\,h\left( {x,z} \right) = 6z + 2x{z^4} + g\left( x \right)\]Endi, chunki \(h\left( {x,z} \right)\) ham \(x\), ham \(z\) funksiyasi bo‘lgan va biz bu yerda \(z\) ga nisbatan integratsiyalashganmiz, bu holda “integratsiya doimiysi” bu holda \(x\), \(g\left( x \right)\) funksiyasi bo‘lishi kerak.
Potentsial funktsiya endi,
\[f\left( {x,y,z} \right) = zy - 2xy - x{y^3} + 6z + 2x{z^4} + g\left( x \right)\]5-qadam
Keyinchalik, biz \(x\) ga nisbatan 4-bosqichdan potentsial funktsiyani farqlashimiz va \(P\) ga tenglashtirishimiz kerak. Shunday qilib,
\[{f_x} = - 2y - {y^3} + 2{z^4} + g'\left( x \right) = 2{z^4} - 2y - {y^3} = P\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}g'\left( x \right) = 0\]Esda tutingki, 3-bosqichda bo'lgani kabi, biz bu erda qanday o'zgaruvchini farqlayotganimizni eslashimiz kerak. Bu holda biz \(x\) ga nisbatan farqlanyapmiz va shuning uchun \(g\left( x \right)\) faqat \(x\) funktsiyasi bo'lishi kerak. Agar \(g'\left( x \right)\)da \(y\) yoki \(z\) bo‘lsa, biz xato qilganimizni yoki vektor maydoni konservativ emasligini bilgan bo‘lardik.
Bundan tashqari, ushbu muammoda ko'rsatilganidek, \(g'\left( x \right)\)-da \(x\) umuman bo'lmasligi mumkin.
6-qadam
5-bosqichdan \(g'\left( x \right)\) formulasining ikkala tomonini birlashtirib, bizda \(g\left( x \right) = c\) bo‘lishi kerakligini ko‘ramiz.
7-qadam
Nihoyat, hamma narsani birlashtirib, vektor maydoni uchun quyidagi potentsial funktsiyani olamiz.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( {x,y,z} \right) = zy - 2xy - x{y^3} + 6z + 2x{z^4} + c}}\]