16.6-bo'lim : Konservativ vektor maydonlari
5. Quyidagi vektor maydoni uchun potensial funksiyani toping.
\[\vec F = {y^2}\left( {1 + \cos \left( {x + y} \right)} \right)\vec i + \left( {2xy - 2y + {y^2}\cos \left( {x + y} \right) + 2y\sin \left( {x + y} \right)} \right)\vec j\]Yechim
Endi, muammo qanday so'ralganiga asoslanib, vektor maydoni konservativ deb taxmin qilishimiz mumkin, ammo ishonch hosil qilish uchun baribir uni tekshirib ko'raylik.
Shunday qilib,
\[\begin{align*}P & = {y^2}\left( {1 + \cos \left( {x + y} \right)} \right) = {y^2} + {y^2}\cos \left( {x + y} \right) & \hspace{0.25in}{P_y} & = 2y - {y^2}\sin \left( {x + y} \right) + 2y\cos \left( {x + y} \right)\\ Q & = 2xy - 2y + {y^2}\cos \left( {x + y} \right) + 2y\sin \left( {x + y} \right) & \hspace{0.25in}{Q_x} & = 2y - {y^2}\sin \left( {x + y} \right) + 2y\cos \left( {x + y} \right)\end{align*}\]OK, biz \({P_y} = {Q_x}\) va shuning uchun vektor maydoni muammo bayonotida ko'rsatilgandek konservativ ekanligini ko'rishimiz mumkin.
2-qadam
Xo'sh, bu vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani topish uchun biz avval \(P\) ni \(x\) ga nisbatan integrallashimiz yoki \(y\) ga nisbatan \(Q\) ni integrallashimiz kerakligini bilamiz. Umuman olganda, qaysi birini tanlashimiz muhim emas, lekin bu holda \(Q\)-ni \(y\)-ga integratsiya qilish juda og'riqli ko'rinadi (ikkita qismlarga integratsiya!).
Shunday qilib, keling, ushbu muammo uchun quyidagi integratsiyaga o'taylik.
\[\begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = \int{{P\,dx}}\\ & = \int{{{y^2} + {y^2}\cos \left( {x + y} \right)\,dx}}\\ & = x{y^2} + {y^2}\sin \left( {x + y} \right) + h\left( y \right)\end{align*}\]Shuni unutmangki, bu holda, biz \(x\) ga nisbatan integratsiyalashgan edik, chunki “integratsiya doimiysi” \(y\) funktsiyasi bo'ladi!
E'tibor bering, bu muammo ko'rsatganidek, ba'zida bitta integratsiya tartibi boshqasiga qaraganda ancha oson bo'ladi, shuning uchun qaysi atamani birlashtirish osonroq bo'lishi mumkinligini qidiring.
3-qadam
Keyinchalik, funktsiyani \(y\) ga nisbatan oldingi bosqichdan farqlang va \(Q\) ga teng bo'ling, chunki hosila va \(Q\) bir xil funktsiya bo'lishi kerakligini bilamiz.
\[\begin{align*}{f_y} & = 2xy + 2y\sin \left( {x + y} \right) + {y^2}\cos \left( {x + y} \right) + h'\left( y \right)\\ & = 2xy - 2y + {y^2}\cos \left( {x + y} \right) + 2y\sin \left( {x + y} \right) = Q\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}h'\left( y \right) = - 2y\end{align*}\]Endi eslang, chunki biz \(x\) ga nisbatan 2-bosqichda integratsiyalashgan \(h\left( y \right)\) va shuning uchun \(h'\left( y \right)\) faqat \(y\) funktsiyasi bo'lishi kerak (bu holatda bo'lgani kabi). Agar \(h'\left( y \right)\)-da biron bir \(x\) bo'lganida, biz bu nuqtada nimadir noto'g'ri ekanligini bilgan bo'lardik. Yoki biz biror joyda xato qildik yoki vektor maydoni konservativ emas edi. Albatta, biz 1-bosqichda uning konservativ ekanligini tasdiqladik va bu aslida biror joyda xato qilganimizni anglatadi!
4-qadam
Endi yuqoridagi \(h'\left( y \right)\) formulasining ikkala tomonini birlashtirib olamiz:
\[h\left( y \right) = - {y^2} + c\]Bu borada "\(+c\)" ni unutmang!
5-qadam
Nihoyat, hamma narsani birlashtirib, vektor maydoni uchun quyidagi potentsial funktsiyani olamiz.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( {x,y} \right) = x{y^2} + {y^2}\sin \left( {x + y} \right) - {y^2} + c}}\]