16.6-bo'lim : Konservativ vektor maydonlari
4. Quyidagi vektor maydoni uchun potensial funksiyani toping.
\[\vec F = \left( {6{x^2} - 2x{y^2} + \frac{y}{{2\sqrt x }}} \right)\vec i - \left( {2{x^2}y - 4 - \sqrt x } \right)\vec j\]Yechim
Endi, muammo qanday so'ralganiga asoslanib, vektor maydoni konservativ deb taxmin qilishimiz mumkin, ammo ishonch hosil qilish uchun baribir uni tekshirib ko'raylik.
Shunday qilib,
\[\begin{align*}P & = 6{x^2} - 2x{y^2} + \frac{y}{{2\sqrt x }} & \hspace{0.5in}{P_y} & = - 4xy + \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ Q & = - \left( {2{x^2}y - 4 - \sqrt x } \right) & \hspace{0.5in}{Q_x} & = - 4xy + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{align*}\]OK, biz \({P_y} = {Q_x}\) va shuning uchun vektor maydoni muammo bayonotida ko'rsatilgandek konservativ ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Ushbu muammolar bilan ehtiyot bo'ling va vektor komponentlaridagi belgilarga qarang. Talabalarning bu masalalarda eng katta xatolaridan biri vektor maydonining ikkinchi komponenti oldidagi minus belgisini o'tkazib yuborishdir. Albatta, har doim ham minus belgisi bo'lmaydi, lekin ba'zida bittasi bo'ladi va agar biz uni o'tkazib yuborsak, muammoning qolgan qismini hal qilish juda qiyin bo'ladi. Aslida, agar biz uni o'tkazib yuborsak, vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani topa olmaymiz!
2-qadam
Xo'sh, bu vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani topish uchun biz avval \(P\) ni \(x\) ga nisbatan integrallashimiz yoki \(y\) ga nisbatan \(Q\) ni integrallashimiz kerakligini bilamiz. Qaysi birini tanlaganimiz muhim emas va bu holda hech biri boshqasidan qiyinroq bo'lmaydi.
Shunday qilib, keling, ushbu muammo uchun quyidagi integratsiyaga o'taylik.
\[\begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = \int{{Q\,dy}}\\ & = \int{{ - 2{x^2}y + 4 + \sqrt x \,dy}}\\ & = - {x^2}{y^2} + 4y + y\sqrt x + g\left( x \right)\end{align*}\]Shuni unutmangki, bu holda, biz \(y\) ga nisbatan integratsiyalashgan edik, chunki "integratsiya doimiysi" \(x\) funktsiyasi bo'ladi!
3-qadam
Keyinchalik, funktsiyani \(x\) ga nisbatan oldingi bosqichdan farqlang va \(P\) ga teng bo'ling, chunki hosila va \(P\) bir xil funktsiya bo'lishi kerakligini bilamiz.
\[{f_x} = - 2x{y^2} + \frac{y}{{2\sqrt x }} + g'\left( x \right) = 6{x^2} - 2x{y^2} + \frac{y}{{2\sqrt x }} = P\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}g'\left( x \right) = 6{x^2}\]Endi eslang, chunki biz 2-bosqichda \(y\) bilan integratsiyalashgan \(g\left( x \right)\) va shuning uchun \(g'\left( x \right)\) faqat \(x\) funktsiyasi bo'lishi kerak (bu holatda bo'lgani kabi). Agar \(g'\left( x \right)\)-da biron bir \(y\) bo'lganida, biz bu nuqtada nimadir noto'g'ri ekanligini bilar edik. Yoki biz biror joyda xato qildik yoki vektor maydoni konservativ emas edi. Albatta, biz 1-bosqichda uning konservativ ekanligini tasdiqladik va bu aslida biror joyda xato qilganimizni anglatadi!
4-qadam
Endi biz yuqoridagi \(g'\left( x \right)\) formulasining ikkala tomonini birlashtira olamiz:
\[g\left( x \right) = 2{x^3} + c\]Bu borada "\(+c\)" ni unutmang!
5-qadam
Nihoyat, hamma narsani birlashtirib, vektor maydoni uchun quyidagi potentsial funktsiyani olamiz.
\[\require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{f\left( {x,y} \right) = - {x^2}{y^2} + 4y + y\sqrt x + 2{x^3} + c}}\]