16.6-bo'lim : Konservativ vektor maydonlari
3. Quyidagi vektor maydonining konservativ ekanligini aniqlang.
\[\vec F = \left( {6 - 2xy + {y^3}} \right)\vec i + \left( {{x^2} - 8y + 3x{y^2}} \right)\vec j\]Yechim
Haqiqatan ham bu muammoni hal qilish uchun unchalik ko'p narsa yo'q. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(P\) va \(Q\) ni aniqlab, keyin testdan o'tish.
Shunday qilib,
\[\begin{align*}P & = 6 - 2xy + {y^3} & \hspace{0.5in}{P_y} & = - 2x + 3{y^2}\\ Q & = {x^2} - 8y + 3x{y^2} & \hspace{0.5in}{Q_x} & = 2x + 3{y^2}\end{align*}\]OK, biz \({P_y} \ne {Q_x}\) va vektor maydonini aniq ko'ramiz konservativ emas.
Ushbu muammolar bilan ehtiyot bo'ling. Shoshilish va ikki lotin o'rtasidagi juda nozik farqni o'tkazib yuborish oson. Bunday holda, ikkita hosila o'rtasidagi yagona farq birinchi a'zodagi belgidir. Bo'ldi shu. Bu vektor maydoni konservativ bo'lmasligi uchun ham etarli.