Asosiy tarkibga o'tish

12.6-bo'lim : Vektor funktsiyalari

3. : \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4t,10 - 2t} \right\rangle \) vektor funksiyasining grafigini chizing

Yechim

Vektor funktsiyalari grafigini chizishning bir usuli, albatta, vektorlar to'plamini hisoblash va keyin biz ularni pozitsiya vektorlari deb hisoblaganimizni eslash va ulardan olingan "nuqtalarni" chizishdir.

Agar biz \(t\) ning "to'g'ri" qiymatlarini tanlasak, bu ishlaydi, bu bizga yaxshi nuqtalarni beradi, biz grafik nima ekanligini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin.

Shunday qilib, buni oldini olish uchun, esda tutingki, biz ularni pozitsiya vektorlari deb hisoblaganimiz sababli, grafikni chizish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan mos keladigan parametrik tenglamalar to'plamini yozishimiz mumkin. Ushbu vektor funksiya uchun parametrik tenglamalar:

\[\begin{align*}x & = 4t\\ y & = 10 - 2t\end{align*}\]
2-qadam

Endi eslaylikki, parametrik tenglamalarni ko'rib chiqqanimizda biz parametrik tenglamalardan parametrni olib tashladik va faqat \(x\) va \(y\) ni o'z ichiga olgan tenglamani vektor funksiyasi bilan bir xil grafikga ega bo'ldik.

Buni quyidagicha qilishimiz mumkin,

\[x = 4t\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}t = \frac{1}{4}x\hspace{0.5in} \to \hspace{0.5in}y = 10 - 2\left( {\frac{1}{4}x} \right) = 10 - \frac{1}{2}x\]

Demak, vektor funksiyaning grafigi qiyaligi \( - \frac{1}{2}\) va \(\left( {0,10} \right)\) ning \(y\)-kesishmasi bo‘lgan chiziq bo‘ladi.

3-qadam

Grafikning eskizi quyida keltirilgan.

A sketch of the graph of the vector function \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4t,10 - 2t} \right\rangle \). The graph is the straight line \(y = 10 - \frac{1}{2}x\), falling from the upper left to the lower right and crossing the y-axis at \(\left( {0,10} \right)\). Points on the line are marked and labeled for \(t = - 4\) through \(t = 4\) and dashed vectors are drawn from the origin out to each of those points.

Tasviriy maqsadlarda biz turli xil \(t\) uchun vektorlar to'plamini qo'ydik, shunchaki ular etarli bo'lganda biz grafikni ham olgan bo'lar edik. Albatta, parametrni olib tashlash va algebraik tenglamalarning grafigini tuzish osonroq edi (i.e. tenglama faqat \(x\) va \(y\)).