12.9-bo'lim : Vektor funktsiyalari bilan yoy uzunligi
4. \(\vec r\left( t \right) = \left\langle {4t, - 2t,\sqrt 5 \,\,{t^2}} \right\rangle \) uchun yoy uzunligi funksiyasini toping.
Yechim
Bizga birinchi navbatda vektor funksiyaning hosilasining kattaligi kerak. Bu,
\[\vec r'\left( t \right) = \left\langle {4, - 2,2\sqrt 5 \,\,t} \right\rangle \] \[\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| = \sqrt {16 + 4 + 20{t^2}} = \sqrt {20 + 20{t^2}} = \sqrt {20} \sqrt {1 + {t^2}} = 2\sqrt 5 \sqrt {1 + {t^2}} \]2-qadam
Yoy uzunligi funktsiyasi u holda,
\[s\left( t \right) = \int_{0}^{t}{{2\sqrt 5 \sqrt {1 + {u^2}} \,du}}\]Har doim ham bu integrallarning "oddiy" integral bo'lishini kutmang. Ular ko'pincha oddiy hisob-kitoblarni almashtirishdan ko'ra ko'proq texnikani talab qiladi. Bunday holda bizga quyidagi trigni almashtirish kerak bo'ladi.
\[u = \tan \theta \hspace{0.5in}du = {\sec ^2}\theta \,d\theta \hspace{0.5in}\sqrt {1 + {u^2}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } = \sqrt {{{\sec }^2}\theta } = \left| {\sec \theta } \right|\]Integralning chegaralari quyidagicha bo'ladi:
\[u = 0:0 = \tan \theta \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} \theta = 0\hspace{0.25in}u = t > 0:t = \tan \theta \hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in} \theta = \tan^{ - 1}\left( t \right)\]Endi, ta'kidlab o'tilganidek, biz \(t > 0\) ekanligini bilamiz va shuning uchun biz \(u = t\) chegarasidan \(0 < \theta < \frac{\pi }{2}\)ni olamiz deb ishonch bilan taxmin qilishimiz mumkin. Bu, o'z navbatida, biz doimo birinchi kvadrantda bo'lamiz va sekant birinchi kvadrantda ijobiy ekanligini bilamiz. Shuning uchun biz yuqoridagi sekantdagi mutlaq qiymatlar satrini olib tashlashimiz mumkin.
Yoy uzunligi funksiyasi endi,
\[\begin{align*}s\left( t \right) & = \int_{0}^{{{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)}}{{2\sqrt 5 {{\sec }^3}\theta \,d\theta }} = \sqrt 5 \left. {\left( {\sec \theta \tan \theta + \ln \left| {\sec \theta + \tan \theta } \right|} \right)} \right|_0^{{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)}\\ & = \sqrt 5 \left[ {\sec \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right)\tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right) + \ln \left| {\sec \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right) + \tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right)} \right|} \right]\end{align*}\]Endi biz \(\tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right) = t\) ekanligini bilamiz, bu bizning javobimizni biroz soddalashtiradi. Keling, buni ham soddalashtira olamizmi yoki yo'qligini bilish uchun sekant atamasini ko'rib chiqaylik. Birinchidan, bizning chegaraviy ishimizdan \(\theta = {\tan ^{ - 1}}\left( t \right)\) ni eslang. Yoki biroz qayta yozish bilan bizda,
\[\tan \theta = t = \frac{t}{1} = \frac{{{\rm{opposite}}}}{{{\rm{adjacent}}}}\]Qarama-qarshi tomoni \(t\) va qo'shni tomoni 1 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak tuzing. U holda gipotenuza \(\sqrt {{t^2} + 1} \) bo'ladi. Bu o'z navbatida \(\sec \theta = \sqrt {{t^2} + 1} \) degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib,
\[\sec \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( t \right)} \right) = \sec \left( \theta \right) = \sqrt {{t^2} + 1} \]Ushbu soddalashtirilgan holda, bizning kamon uzunligi funksiyamiz,
\[s\left( t \right) = \sqrt 5 \left[ {t\sqrt {{t^2} + 1} + \ln \left| {\sqrt {{t^2} + 1} + t} \right|} \right]\]Bu erda biroz noxush soddalashtirish bor edi, lekin biz buni qilganimizdan so'ng biz yoy uzunligi funksiyasini ancha yaxshi oldik.