Xo'sh, keling, biz \(x = 0\) ustida ishlayotganimizni ta'kidlashdan boshlaylik va bu biz eksponensial funktsiyaning Teylor seriyasi uchun formuladan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi. Malumot uchun bu,

\[{{\bf{e}}^x} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \]

Keling, bundan \(n = 0\) atamasini olib tashlab, bittasini ayirib olaylik. Shunday qilib,

\[{{\bf{e}}^x} - 1 = \left[ {1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} } \right] - 1 = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \]

Albatta, yuqoridagi qadamni bajarishda biz haqiqatan ham \(n = 0\) atamasini seriyadan chiqarib tashlashga muvaffaq bo'ldik. Darhaqiqat, yaqinda sodir bo'lgan yomon narsa emas edi.

Va nihoyat, keling, hamma narsani \(x\) ga ajratamiz. Bu beradi,

\[\frac{{{{\bf{e}}^x} - 1}}{x} = \frac{1}{x}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n!}}} \]

Biz seriyadan tashqarida bo'lgan \(x\) ni seriyaga o'tkazdik. Bu qatorning integralini bajarish uchun talab qilinadi. Biz muammoda faqat bitta \(x\) ni xohlaymiz va endi bizda bunga ega.

Shuni ham yodda tutingki, chapdagi funktsiya nolga bo'linishi bilan birga, o'ngdagi seriyalarda bu muammo yo'q. Seriyadagi barcha \(x\) ko'rsatkichlari musbat yoki nol ko'rsatkichlarga ega! Bu haqiqatan ham yaxshi narsa.

Albatta, bizda mavjud bo'lgan yana bir yaxshi narsa shundaki, biz integrand uchun seriyali tasvirni topishga muvaffaq bo'ldik!

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa integralning ketma-ket tasvirini olish uchun qatorning integralini hisoblashdir.

\[\int{{\frac{{{{\bf{e}}^x} - 1}}{x}\,dx}} = \int{{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n!}}} \,dx}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{c + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{\left( n \right)\left( {n!} \right)}}} }}\]