10.16-bo'lim : Teylor seriyasi
6. \(x = 2\) haqida \(f\left( x \right) = 7{x^2} - 6x + 1\) uchun Teylor seriyasini toping.
Yechim
Birinchidan, keling, bizda bu muammo uchun ko'phad borligidan juda hayajonlanmaylik. Bir nechta kichik farqlar bilan xuddi shunday ishlaydi.
Biz funktsiyaning bir nechta hosilalarini olish va ularni \(x = 2\) da baholashdan boshlaymiz.
\[\begin{align*}{n = 0:} & & f\left( x \right) & = 7{x^2} - 6x + 1 & f\left( 2 \right) & = 17\\{n = 1:} & & f'\left( x \right) & = 14x - 6 & f'\left( 2 \right) & = 22\\{n = 2:} & & f''\left( x \right) & = 14 & f''\left( 2 \right) & = 14\\{n \ge 3:} & & {f^{\left( n \right)}}\left( x \right) & = 0 & {f^{\left( n \right)}}\left( 2 \right) & = 0\end{align*}\]Xo'sh, bu erda biz odatda Teylor seriyasidagi muammolarda ko'radigan ko'phad va boshqa turdagi funktsiyalar o'rtasidagi farqlardan biri. Bir muncha vaqt o'tgach, barcha hosilalar nolga teng bo'ladi. Bu hayajonlanadigan narsa emas. Aslida, bu muammoni biroz osonlashtiradi!
Ba'zi bir nuqtadan keyin barcha hosilalar nolga teng bo'lgani uchun bizga umumiy atama uchun formula kerak emas. Bizga kerak bo'lgan narsa - nolga teng bo'lmagan hosila atamalarining qiymatlari.
2-qadam
Oldingi bosqichdagi qiymatlarga ega bo'lganimizdan so'ng, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa Teylor seriyasini yozishdir. Buning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa seriyadan nolga teng bo'lmagan barcha shartlarni olib tashlash va qolganlari nolga teng bo'lishini tan olish (qolgan barcha shartlar nolga teng!).
Shunday qilib,
\[\begin{align*}7{x^2} - 6x + 1 & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)}}{{n!}}{{\left( {x - 2} \right)}^n}} \\ & = f\left( 2 \right) + f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + \frac{1}{2}f''\left( 2 \right){\left( {x - 2} \right)^2} + \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 2 \right)}}{{n!}}{{\left( {x - 2} \right)}^n}} \\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{17 + 22\left( {x - 2} \right) + 7{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{align*}\]Bu biroz g'alati ko'rinadi, lekin u erda. Buni ko'paytirmang/soddalashtirmang. Bu, albatta, biz izlayotgan javob.
Bundan tashqari, bu sizni boshqa muammoni hal qilish uchun qilingan muammo deb o'ylamang. Bir qator ilovalar mavjud (ammo bu kurs doirasidan tashqarida ...) ular haqiqatan ham g'alati tuyulishi mumkin bo'lgan bunday ishlarni qilishni talab qiladi!