10.16-bo'lim : Teylor seriyasi
3. \(x = - 4\) haqida \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^{ - 6x}}\) uchun Teylor seriyasini toping.
Yechim
Biz ushbu muammoda \(x = - 4\) ustida ishlayotganimiz sababli, biz eksponensial funktsiya uchun sinfda olingan formuladan foydalana olmaymiz, chunki bu bizdan \(x = 0\) ustida ishlashimizni talab qiladi.
2-qadam
Shunday qilib, biz boshidan boshlashimiz va funktsiyaning ba'zi hosilalarini olishni boshlashimiz kerak.
\[\begin{align*}{n = 0:} & & f\left( x \right) & = {{\bf{e}}^{ - 6x}}\\{n = 1:} & & f'\left( x \right) & = - 6{{\bf{e}}^{ - 6x}}\\{n = 2:} & & f''\left( x \right) & = {{\left( { - 6} \right)}^2}{{\bf{e}}^{ - 6x}}\\{n = 3:} & & {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) & = {{\left( { - 6} \right)}^3}{{\bf{e}}^{ - 6x}}\\{n = 4:} & & {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) & = {{\left( { - 6} \right)}^4}{{\bf{e}}^{ - 6x}}\end{align*}\]Esda tutingki, umuman olganda, biz Teylor seriyasida umumiy atama formulasini olishimiz uchun ushbu muammolarning aksariyati uchun kamida \(n = 4\) ga borishimiz kerak.
Bundan tashqari, lotinlarni olishda narsalarni ko'paytirmaslikni unutmang! Bu umumiy formulani topish vaqti kelganda hayotingizni ancha qiyinlashtiradi.
3-qadam
Teylor seriyasida umumiy atama uchun formulani olishimiz mumkinligini ko'rish vaqti keldi.
Bunday holda, yuqoridagi lotinlardagi naqshni ushlash (umid qilamanki) juda oddiy. Umumiy atama tomonidan berilgan:
\[{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = {\left( { - 6} \right)^n}{{\bf{e}}^{ - 6x}}\,\,\,\,\,\,n = 0,1,2,3, \ldots \]Ta'kidlanganidek, bu formula \(n = 0\) ga qadar ishlaydi. Qanchalik orqada ishlashini aniqlash uchun ushbu formulani tekshirganingizga ishonch hosil qilish muhimdir. Biz ba'zida \(n\) ning birinchi juftligi uchun ishlamaydigan formulalarni olamiz va Teylor seriyasini yozishni boshlashdan oldin buni bilishimiz kerak.
4-qadam
Endi eslang, biz hech qanday \(x\) da umumiy atamani xohlamaymiz. Biz \(x = - 4\) da umumiy atamani xohlaymiz. Bu,
\[{f^{\left( n \right)}}\left( { - 4} \right) = {\left( { - 6} \right)^n}{{\bf{e}}^{24}}\,\,\,\,\,\,n = 0,1,2,3, \ldots \]5-qadam
Xo'sh, hozir biz ushbu muammo uchun Teylor seriyasini rasmiy ravishda yozishimiz mumkin.
\[{{\bf{e}}^{ - 6x}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( { - 4} \right)}}{{n!}}{{\left( {x + 4} \right)}^n}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^n}{{\bf{e}}^{24}}}}{{n!}}{{\left( {x + 4} \right)}^n}} }}\]