10.16-bo'lim : Teylor seriyasi
2. \(x = 0\) haqidagi \(f\left( x \right) = {x^6}{{\bf{e}}^{2{x^{\,3}}}}\) uchun Teylor seriyasini aniqlash uchun eslatmalarda keltirilgan Teylor seriyalaridan birini ishlating.
Yechim
Haqiqatan ham bu muammoni hal qilish uchun bu erda juda ko'p narsa yo'q. Biz eksponensial funktsiya bilan ishlayapmiz va \(x = 0\) haqidagi Teylor seriyasini xohlaymiz va shuning uchun Teylor seriyasidan eslatmalarda olingan eksponensial funktsiya uchun foydalanishimiz mumkin:
\[{x^6}{{\bf{e}}^{2{x^{\,3}}}} = {x^6}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {2{x^3}} \right)}^n}}}{{n!}}} \]Esda tutingki, biz faqat eslatmalarda olingan Teylor seriyasidan foydalanib eksponensialni o'zgartiramiz va shu nuqtada biz faqat \({x^6}\) ni qator oldida qoldiramiz.
2-qadam
Endi ketma-ket javob shakli uchun asosiy "qoidalarni" eslang. Biz seriyalar oldida hech narsa istamaymiz va biz bitta eksponentli bitta \(x\) ni xohlaymiz.
Bu g'amxo'rlik qilish uchun etarlicha oson qoidalar. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa seriya oldidagi narsalarni seriyaning ichki qismiga o'tkazish va \(x\) "qoidasi" ga rioya qilish uchun asosiy ko'rsatkich qoidalaridan foydalanishdir. Bularning barchasini qilish,
\[{x^6}{{\bf{e}}^{2{x^{\,3}}}} = {x^6}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {2{x^3}} \right)}^n}}}{{n!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^6}\frac{{{2^n}{{\left( {{x^3}} \right)}^n}}}{{n!}}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{x^{3n + 6}}}}{{n!}}} }}\]