Endi, biz buni geometrik qator sifatida to'g'ri aniqlagan bo'lsak-da, u \(n\) ning ikkita standart boshlang'ich qiymatlaridan birida ham boshlanmaydi, i.e. \(n = 0\) or \(n = 1\).

Bu bizni ketma-ketlik yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashga xalaqit bermaydi, chunki bu faqat \(r\) qiymatiga bog'liq bo'lib, biz etarli ish bilan \(n\) ning boshlang'ich qiymatidan qat'iy nazar aniqlashimiz mumkin. Biroq, agar seriyalar yaqinlashsa, biz ketma-ketlik qiymatini aniqlash uchun formuladan foydalana olmaymiz, chunki bu ham \(a\) qiymatini talab qiladi va bu seriyani ikkita standart boshlang'ich qiymatdan birida boshlashni talab qiladi.

Ushbu muammoni hal qilish uchun bizda ikkita variant bor. Ulardan biri, buni \(n\) standart boshlang'ich qiymatlaridan birida boshlanadigan qatorga aylantirish uchun indeks siljishidan foydalanishdir. Ko'pgina hollarda, bu yagona haqiqiy variant.

Biroq, bu holda, ushbu seriya oldingi muammodagi seriyalar bilan deyarli bir xil ekanligini ta'kidlaymiz. Yagona farq shundaki, bu seriya \(n = 2\) da boshlanadi, oldingi masaladagi qator esa \(n = 1\) da boshlanadi. Bu shuni anglatadiki, biz oldingi muammoning natijalaridan bu erda zarur bo'lgan ish hajmini sezilarli darajada kamaytirishimiz mumkin.

Biz bilamizki, oldingi muammodagi seriyalar birlashdi va biz faqat \(n\) ning boshlang'ich qiymatini o'zgartiramiz, bu seriyaning konvergentsiyasiga ta'sir qilmaydi. Shuning uchun, ushbu muammodagi seriyalar ham bo'ladi birlashish.

Oldingi seriyadagi qatorning qiymati \(\frac{{1225}}{2}\) ekanligini ham bilganimiz uchun biz ushbu masalada qator qiymatini topishimiz mumkin. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, oldingi masaladagi seriyadan bitta atamani olib tashlash,

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} = \frac{{{5^2}}}{{{7^{ - 1}}}} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} \]

Keyin oldingi masalada topilgan qiymatdan foydalanib, ushbu muammodan seriya qiymatini quyidagicha olishimiz mumkin,

\[\frac{{1225}}{2} = 175 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} = \frac{{1225}}{2} - 175 = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{875}}{2}}}\]

Tezkor eslatma, agar siz indeksni almashtirishni tanlagan bo'lsangiz, bu erda siz olishingiz kerak bo'lgan ikkita seriya (\(n\) ning har bir mumkin bo'lgan boshlang'ich qiymati uchun) mavjud.

\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n + 2}}}}{{{7^{n - 1}}}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{5^{n + 3}}}}{{{7^n}}}} \]

Oxirgi ikkitasining ikkalasi ham "standart" shaklda va yuqoridagi kabi bir xil natijaga erishish uchun ishlatilishi mumkin.