10.5-bo'lim : Maxsus seriyalar
5. Qatlamning yaqinlashish yoki ayrilishligini aniqlang. Agar qator yaqinlashsa, uning qiymatini bering.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} \]Yechim
Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqqan uchta maxsus seriyaning barchasi bir-biridan farqli ekanligini hisobga olsak, bu geometrik qator ekanligi aniq bo'ladi.
2-qadam
Keling, indeksning boshlang'ich qiymati \(n = 1\) ekanligini va shuning uchun biz buni shaklga qo'yishimiz mumkinligiga e'tibor bering,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {a\,{r^{n - 1}}} \]O'sha paytda biz uning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini va agar u yaqinlashayotgan bo'lsa, seriyaning qiymatini aniqlashimiz mumkin.
Yuqorida aytib o'tilganidek, ikkita ko'rsatkich \(n - 1\) bo'lishi kerak. Agar asosiy ko'rsatkich xususiyatlaridan foydalanib, har bir atamani quyidagicha yozishimiz mumkinligini ta'kidlasak, bu oson "tuzatish" bo'ladi,
\[{5^{n + 1}} = {5^{n - 1}}{5^2}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{7^{n - 2}} = {7^{n - 1}}{7^{ - 1}}\]Ushbu ikkita qayta yozish bilan seriya shunday bo'ladi:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n - 1}}{5^2}}}{{{7^{n - 1}}{7^{ - 1}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {25} \right)\left( 7 \right)\frac{{{5^{n - 1}}}}{{{7^{n - 1}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {175{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^{n - 1}}} \]3-qadam
"To'g'ri" shakldagi seriyalar bilan biz \(a = 175\) va \(r = \frac{5}{7}\) ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun, biz aniq \(\left| r \right| = \frac{5}{7} < 1\) ko'rish mumkin, chunki, qator bo'ladi birlashish va uning qiymati,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{7^{n - 2}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {175{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^{n - 1}}} = \frac{{175}}{{1 - \frac{5}{7}}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{\frac{{1225}}{2}}}\]