10.5-bo'lim : Maxsus seriyalar
3. Qatlamning yaqinlashish yoki ayrilishligini aniqlang. Agar qator yaqinlashsa, uning qiymatini bering.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^{3 - n}}}}{{{8^{2 - n}}}}} \]Yechim
Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqqan uchta maxsus seriyaning barchasi bir-biridan farqli ekanligini hisobga olsak, bu geometrik qator ekanligi aniq bo'ladi.
2-qadam
Keling, indeksning boshlang'ich qiymati \(n = 1\) ekanligini va shuning uchun biz buni shaklga qo'yishimiz mumkinligiga e'tibor bering,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {a\,{r^{n - 1}}} \]O'sha paytda biz uning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini va agar u yaqinlashsa, seriyaning qiymatini aniqlashimiz mumkin.
Shunday qilib, keling, seriyani yuqoridagi shaklga kiritish bo'yicha ishni boshlaylik. Birinchidan, ko'rsatkichlardagi \(n\) ikkalasi ham salbiy va ular ijobiy bo'lishi kerakligiga e'tibor qarataylik. Ijobiy \(n\) ga aylantirish,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^{3 - n}}}}{{{8^{2 - n}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{8^{n - 2}}}}{{{{\left( { - 6} \right)}^{n - 3}}}}} \]E'tibor bering, tegishli ko'rsatkichlardagi 3 va 2 bilan qanday ishlashni tanlaganingiz sizga bog'liq. Siz buni biz bu yerda qilganimizdek qilishingiz yoki ularni ajratib olishingiz va keyin shartlarni hisob yoki maxrajga o'tkazishingiz mumkin.
Yuqorida aytib o'tilganidek, ikkita ko'rsatkich \(n - 1\) bo'lishi kerak. Agar asosiy ko'rsatkich xususiyatlaridan foydalangan holda har bir atamani quyidagicha yozishimiz mumkinligini ta'kidlasak, bu oson "tuzatish" bo'ladi,
\[{8^{n - 2}} = {8^{n - 1}}{8^{ - 1}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\left( { - 6} \right)^{n - 3}} = {\left( { - 6} \right)^{n - 1}}{\left( { - 6} \right)^{ - 2}}\]Ushbu ikkita qayta yozish bilan seriya shunday bo'ladi:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^{3 - n}}}}{{{8^{2 - n}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{8^{n - 1}}{8^{ - 1}}}}{{{{\left( { - 6} \right)}^{n - 1}}{{\left( { - 6} \right)}^{ - 2}}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{{{8^1}}}{{\left( {\frac{8}{{ - 6}}} \right)}^{n - 1}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{9}{2}{{\left( { - \frac{4}{3}} \right)}^{n - 1}}} \]3-qadam
"To'g'ri" shakldagi seriyalar bilan biz \(a = \frac{9}{2}\) va \(r = - \frac{4}{3}\) ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun, biz aniq \(\left| r \right| = \left| { - \frac{4}{3}} \right| = \frac{4}{3} > 1\) ko'rishimiz mumkin, chunki, qator bo'ladi ajralish.