10.3-bo'lim : Seriya - Asosiy ma'lumotlar
5. \( \displaystyle \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} = 1.6865\) \( \displaystyle \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} \) qiymatini aniqlashini hisobga olib.
Yechim
Avval e'tibor bering, agar biz \(n = 0\) da boshlangan seriyadan dastlabki ikki shartni olib tashlasak, natija \(n = 2\) da boshlanadigan qatorni o'z ichiga oladi.
Shunday qilib,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} = \frac{1}{{{0^3} + 1}} + \frac{1}{{{1^3} + 1}} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} = \frac{3}{2} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} \]2-qadam
Endi bu holat uchun bizga \(n = 0\) da boshlanadigan qatorning qiymati beriladi va \(n = 2\) da boshlanadigan qatorning qiymatini aniqlash so‘raladi. Buning uchun biz faqat \(n = 0\) da boshlangan qatorning maʼlum qiymatini yuqoridagi “tenglama”ga kiritishimiz va \(n = 2\) da boshlanadigan qator qiymatini “yechishimiz” kifoya qiladi.
Bu beradi,
\[1.6865 = \frac{3}{2} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{{n^3} + 1}}} = 1.6865 - \frac{3}{2} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{0.1865}}\]