10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
9. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4{n^2} - n}}{{{n^3} + 9}}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = \frac{{4{n^2} - n}}{{{n^3} + 9}}\]Siz \(n \ge 1\) uchun bizda \(4{n^2} > n\) va shunga o'xshash \(4{n^2} - n > 0\) mavjudligini tekshirishingiz mumkin. Shuning uchun seriya shartlari ijobiy va shuning uchun biz ushbu seriya uchun taqqoslash testini sinab ko'rishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval ushbu qator yaqinlashadimi yoki ajraladimi, degan oqilona taxmin qila olamizmi, bilib olaylik.
Yetarlicha katta \(n\) uchun biz bilamizki, numeratordagi \({n^2}\) (kvadrat atama) numeratorning \( - n\) (chiziqli atama) qismiga qaraganda ancha tezroq oshadi. Shuning uchun suratning \({n^2}\) qismi, ehtimol, suratning harakatini aniqlaydi. Xuddi shunday, maxrajdagi "+9" katta \(n\) uchun maxraj o'lchamiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun shartlar quyidagicha harakat qilishi kerak:
\[{b_n} = \frac{{4{n^2}}}{{{n^3}}} = \frac{4}{n}\]Shuningdek, biz bilamizki, serial,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{4}{n}} \]Bu garmonik seriya yoki \(p\)-seriyali test bo'yicha farqlanadi.
Shuning uchun, muammo bayonotidagi seriyalar ham farqlanishi mumkinligini taxmin qilishimiz mantiqiy.
3-qadam
Shunday qilib, biz seriyalar bir-biridan farq qiladi deb taxmin qilganimiz uchun, biz biladigan yoki isbotlashi mumkin bo'lgan kichikroq atamalar bilan seriyani topishimiz kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz yangi turkum atamalari haqiqatan ham muammo bayonidagi seriyadagi shartlardan kichikroq ekanligini isbotlashimiz kerak. Biz shunchaki kichikroq bo'lishiga "umid qila olmaymiz".
Bunda masalaning gaplari qatoridagi atamalar ratsional ifoda bo’lgani uchun biz bilamizki, qator hadlarini yo ayiruvchini kichikroq yoki maxrajni kattalashtirish orqali kichikroq qilishimiz mumkin.
Ammo hozir bizda muammo bor. Sinab ko'rish kerak bo'lgan aniq narsa - bu oxirgi hadni pay va maxrajda qoldirishdir. Ammo buni qilish quyidagi tengsizliklarni beradi,
\[4{n^2} - n < 4{n^2}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}{n^3} + 9 > {n^3}\]Bu ikkalasini ketma-ket atamalarda ishlatish quyidagi munosabatni beradi:
\[\frac{{4{n^2} - n}}{{{n^3} + 9}} < \frac{{4{n^2}}}{{{n^3} + 9}} < \frac{{4{n^2}}}{{{n^3}}} = \frac{4}{n}\]Endi serial,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{4}{n}} \]albatta farqlanadi (yuqorida muhokama qilinganidek) uning shartlari muammo bayonidagi ketma-ket atamalardan kattaroqdir. Kattaroq shartlarga ega bo'lgan qatorlar farqlanishi, hech qanday tarzda, kichikroq shartlarga ega bo'lgan qatorlar ham ajralib chiqishini anglatmaydi!
Biz sinab ko'rishimiz mumkin bo'lgan boshqa manipulyatsiyalar ham bor, ammo ularning barchasi shunga o'xshash muammolarga duch kelishi yoki biz yaqinlashuvni tezda isbotlay olmaydigan yangi shartlar bilan tugashi mumkin.
4-qadam
Shunday qilib, taqqoslash testi bu holatda oson ishlamaydi. Bu deyarli sinab ko'rish uchun Limit taqqoslash testini qoldiradi. Ushbu test faqat ijobiy shartlarni (bizda mavjud) va ikkinchi seriyani talab qiladi, biz ishonchimiz komilki, biz konvergentsiyani bilmoqchi bo'lgan seriyalar kabi harakat qiladi. Shuni ham yodda tutingki, Limit taqqoslash testi uchun biz ikkinchi seriya uchun shartlar muammoli bayonot seriyasi shartlaridan kattaroq yoki kichikroq bo'lishi biz uchun ahamiyatsiz.
Agar o'ylab ko'rsangiz, bizda allaqachon kerakli narsa bor. 2-bosqichda biz muammoli bayonotlar seriyasining yaqinlashuvini taxmin qilish uchun ikkinchi qatordan foydalandik. Yangi seriyadagi shartlar ijobiy (bu bizga kerak) va biz uning muammoli bayonot seriyasi kabi harakat qilishiga ishonchimiz komil.
Shunday qilib, chegarani taqqoslash testi uchun zarur bo'lgan chegarani hisoblaylik.
\[c = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{a_n}\frac{1}{{{b_n}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{4{n^2} - n}}{{{n^3} + 9}}\,\,\frac{n}{4}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{4{n^3} - {n^2}}}{{4{n^3} + 36}}\,} \right] = 1\]5-qadam
Mayli. Endi bizda \(0 < c = 1 < \infty \) bor, i.e. \(c\) nol yoki cheksizlik emas, shuning uchun Limit taqqoslash testi orqali ikkala qator bir xil yaqinlashuvga ega bo'lishi kerak. Biz 2-bosqichda ikkinchi qator bir-biridan ajralib turishini aniqladik, shuning uchun muammo bayonotida berilgan qatorlar ham kerak ajralish.
Taqqoslash testida ehtiyot bo'ling. Ko'pincha talabalar ikkinchi qator atamalari to'g'ri munosabatda bo'lishiga umid qilib, kattaroq yoki kichikroq "majburlash" ga harakat qilishadi (i.e. katta yoki kichikroq) muammoli qator shartlariga. Muammo shundaki, bu ko'pincha noto'g'ri javobga olib keladi. Seriya atamalarining kattaroq/kichikligini har doim isbotlashdan ehtiyot bo'ling va agar siz to'g'ri kattaroq/kichikroq xarakterdagi ketma-ket atamani ololmasangiz, chegara solishtirish testiga murojaat qilishingiz kerak bo'lishi mumkin.