10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
8. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki ayiriladimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{{{\bf{e}}^{ - n}}}}{{{n^2} + 2n}}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = \frac{{{{\bf{e}}^{ - n}}}}{{{n^2} + 2n}}\]Ma'lum bo'lishicha, \(n\) diapazoni uchun biz ushbu seriyada ular ijobiy ekanligi va shuning uchun biz ushbu seriya uchun taqqoslash testini sinab ko'rishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Bu holda, keling, birinchi navbatda, numeratordagi eksponensial nolga tushadi, chunki \(n\) cheksizlikka o'tadi. Keling, maxraj shunchaki ko'phad ekanligini ham bilib olaylik. Bu kabi holatlarda eksponensial shunchalik tez nolga aylanadiki, maxrajning harakati umuman ahamiyatsiz bo'lib qoladi va ehtimol muammo bayonotidagi qatorlar ham yaqinlashishi mumkin.
3-qadam
Shunday qilib, biz ketma-ketlik yaqinlashadi deb taxmin qilganimiz uchun, biz biladigan yoki isbotlashi mumkin bo'lgan kattaroq shartlarga ega bo'lgan qatorni topishimiz kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz yangi turkum atamalari haqiqatan ham muammo bayonidagi seriyadagi shartlardan kattaroq ekanligini isbotlashimiz kerak. Biz shunchaki kattaroq bo'lishiga "umid qila olmaymiz".
Bunda masalaning gaplari qatoridagi atamalar ratsional ifoda bo‘lgani uchun biz bilamizki, qator hadlarni kattalashtirish yoki ayiruvchini kattalashtirish yoki maxrajni kichik qilish orqali mumkin.
Bu holda biz sanoqchi va maxraj bilan ishlashimiz mumkin. Numeratordan boshlaylik. \({{\bf{e}}^{ - n}}\) kamayuvchi funktsiya ekanligini isbotlash uchun biz tezkor hisob I dan foydalanishimiz mumkin.
\[{{\bf{e}}^{ - n}} < {{\bf{e}}^{ - 3}} < 1\]Bundan foydalanib, biz quyidagi munosabatni olish uchun suratni kattalashtiramiz:
\[\frac{{{{\bf{e}}^{ - n}}}}{{{n^2} + 2n}} < \frac{1}{{{n^2} + 2n}}\]Endi, denominatorda aniq bo'lishi kerakki,
\[{n^2} + 2n > {n^2}\]Bundan foydalanib, biz maxrajni kichikroq qilishimiz mumkin (shuning uchun ratsional ifodani kattaroq qilishimiz),
\[\frac{{{{\bf{e}}^{ - n}}}}{{{n^2} + 2n}} < \frac{1}{{{n^2} + 2n}} < \frac{1}{{{n^2}}}\]4-qadam
Endi serial,
\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \]konvergent qatordir (\(p\)-seriyali test \(p = 2 > 1\) bilan) va biz ushbu seriyadagi ketma-ket atamalar muammo bayonotidagi qator qatorlaridan kattaroq ekanligini ham ko‘rsatdik.
Shuning uchun, taqqoslash testi bilan muammo bayonotida berilgan qatorlar ham kerak birlashish.