10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
7. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{{\sin }^2}\left( {5n} \right)}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = \frac{{{2^n}{{\sin }^2}\left( {5n} \right)}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}}\]va \(n\) diapazoni uchun biz ushbu seriyada ular ijobiy ekanligi aniq va shuning uchun biz ushbu seriya uchun taqqoslash testini sinab ko'rishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval ushbu qator yaqinlashadimi yoki ajraladimi, degan oqilona taxmin qila olamizmi, bilib olaylik.
Surat va maxrajdagi trig funksiyalari yetarlicha katta \(n\) uchun pay va maxrajning o‘lchamiga haqiqatda ta’sir qilmaydi va shuning uchun katta \(n\) uchun atama shunday bo‘lishi mumkindek tuyuladi:
\[{b_n} = \frac{{{2^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{2}{4}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\]Shuningdek, biz bilamizki, serial,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \]yaqinlashadi, chunki u \(r = \frac{1}{2} < 1\) bilan geometrik qatordir.
Shuning uchun, muammo bayonotidagi seriyalar ham birlashishi mumkinligini taxmin qilishimiz mantiqiy.
3-qadam
Shunday qilib, biz ketma-ketlik yaqinlashadi deb taxmin qilganimiz uchun, biz biladigan yoki isbotlashi mumkin bo'lgan kattaroq shartlarga ega bo'lgan qatorni topishimiz kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz yangi turkum atamalari haqiqatan ham muammo bayonidagi seriyadagi shartlardan kattaroq ekanligini isbotlashimiz kerak. Biz shunchaki kattaroq bo'lishiga "umid qila olmaymiz".
Bunda masalaning gaplari qatoridagi atamalar ratsional ifoda bo‘lgani uchun biz bilamizki, qator hadlarni kattalashtirish yoki ayiruvchini kattalashtirish yoki maxrajni kichik qilish orqali mumkin.
Bu holda biz sanoqchi va maxraj bilan ishlashimiz mumkin. Numeratordan boshlaylik. Biz bilamizki, \(0 \le {\sin ^2}\left( {5n} \right) \le 1\) va shuning uchun suratdagi \({\sin ^2}\left( {5n} \right)\) ni biz oladigan eng katta qiymat bilan almashtirsak,
\[{2^n}{\sin ^2}\left( {5n} \right) < {2^n}\left( 1 \right) = {2^n}\]Bundan foydalanib, biz quyidagi munosabatni olish uchun suratni kattalashtiramiz:
\[\frac{{{2^n}{{\sin }^2}\left( {5n} \right)}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}} < \frac{{{2^n}}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}}\]Endi, maxrajda biz \(0 \le {\cos ^2}\left( n \right) \le 1\) ekanligini bilamiz va shuning uchun \({\cos ^2}\left( n \right)\) ni mumkin bo'lgan eng kichik qiymat bilan almashtirsak,
\[{4^n} + {\cos ^2}\left( n \right) > {4^n} + 0 = {4^n}\]Bundan foydalanib, biz maxrajni kichikroq qilishimiz mumkin (shuning uchun ratsional ifodani kattaroq qilishimiz),
\[\frac{{{2^n}{{\sin }^2}\left( {5n} \right)}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}} < \frac{{{2^n}}}{{{4^n} + {{\cos }^2}\left( n \right)}} < \frac{{{2^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\]4-qadam
Endi serial,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \]konvergent qatordir (yuqorida muhokama qilinganidek) va biz bu qatordagi ketma-ket hadlar muammo bayonidagi qator qatorlaridan kattaroq ekanligini ham ko‘rsatdik.
Shuning uchun, taqqoslash testi bilan muammo bayonotida berilgan qatorlar ham kerak birlashish.
Bunday muammolar bilan ehtiyot bo'ling. Taxmin qilish uchun 2-bosqichda biz foydalangan seriyalar taqqoslash testida ishlatgan seriyamiz bilan yakunlandi va bu ko'pincha shunday bo'ladi, lekin har doim ham shunday bo'lmaydi. Ba'zida bu ikki seriya boshqacha bo'ladi.