10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
6. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki ajraladimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2{n^3} + 7}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = \frac{{2{n^3} + 7}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}}\]va ular ijobiy ekanligi aniq bo'lishi kerak va shuning uchun biz ushbu seriya uchun taqqoslash testini sinab ko'rishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval ushbu qator yaqinlashadimi yoki ajraladimi, degan oqilona taxmin qila olamizmi, bilib olaylik.
Numeratordagi "+7" va maxrajdagi "\({\sin ^2}\left( n \right)\)" yetarlicha katta \(n\) uchun mos ravishda pay va maxraj hajmiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun katta \(n\) uchun atama shunday bo'lishi mumkin:
\[{b_n} = \frac{{2{n^3}}}{{{n^4}}} = \frac{2}{n}\]Shuningdek, biz bilamizki, serial,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{n}} \]Bu garmonik seriya yoki \(p\)-seriyali test bo'yicha farqlanadi.
Shuning uchun, muammo bayonotidagi seriyalar ham ajralib chiqishi mumkinligini taxmin qilishimiz mantiqiy.
3-qadam
Shunday qilib, biz seriyalar bir-biridan farq qiladi deb taxmin qilganimiz sababli, biz biladigan yoki isbotlay oladigan kichikroq atamalarga ega qatorni topishimiz kerak bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, biz yangi turkum atamalari haqiqatan ham muammo bayonidagi seriyadagi shartlardan kichikroq ekanligini isbotlashimiz kerak. Biz shunchaki kichikroq bo'lishiga "umid qila olmaymiz".
Bunda masalaning gaplari qatoridagi atamalar ratsional ifoda bo’lgani uchun biz bilamizki, qator hadlarini yo ayiruvchini kichikroq yoki maxrajni kattalashtirish orqali kichikroq qilishimiz mumkin.
Bu holda biz sanoqchi va maxraj bilan ishlashimiz mumkin. Numeratordan boshlaylik. Bu juda aniq bo'lishi kerak,
\[2{n^3} < 2{n^3} + 7\]Bundan foydalanib, biz quyidagi munosabatni olish uchun suratni kichikroq qilishimiz mumkin:
\[\frac{{2{n^3} + 7}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}} > \frac{{2{n^3}}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}}\]Endi bilamizki, \(0 \le {\sin ^2}\left( n \right) \le 1\) va shunga o'xshash maxrajda biz \({\sin ^2}\left( n \right)\) ni bizda mavjud bo'lgan eng katta qiymat bilan almashtirsak,
\[{n^4}{\sin ^2}\left( n \right) < {n^4}\left( 1 \right) = {n^4}\]Bundan foydalanib, biz maxrajni kattalashtiramiz (shuning uchun ratsional ifodani kichikroq qilamiz),
\[\frac{{2{n^3} + 7}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}} > \frac{{2{n^3}}}{{{n^4}{{\sin }^2}\left( n \right)}} > \frac{{2{n^3}}}{{{n^4}}} = \frac{2}{n}\]4-qadam
Endi serial,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{2}{n}} \]divergent qatordir (yuqorida muhokama qilinganidek) va biz bu qatordagi qator atamalari muammo bayonidagi qatordagi qator atamalaridan kichikroq ekanligini ham ko‘rsatdik.
Shuning uchun, taqqoslash testi bilan muammo bayonotida berilgan qatorlar ham kerak ajralish.
Bunday muammolar bilan ehtiyot bo'ling. Taxmin qilish uchun 2-bosqichda biz foydalangan seriyalar taqqoslash testida ishlatgan seriyamiz bilan yakunlandi va bu ko'pincha shunday bo'ladi, lekin har doim ham shunday bo'lmaydi. Ba'zida bu ikki seriya boshqacha bo'ladi.