10.7-bo'lim : Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi
10. Quyidagi qatorlar yaqinlashadimi yoki ajraladimi, aniqlang.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sqrt {2{n^2} + 4n + 1} }}{{{n^3} + 9}}} \]Yechim
Birinchidan, ketma-ket atamalar,
\[{a_n} = \frac{{\sqrt {2{n^2} + 4n + 1} }}{{{n^3} + 9}}\]va \(n\) diapazoni uchun biz ushbu seriyada ular ijobiy ekanligi aniq va shuning uchun biz ushbu seriya uchun taqqoslash testini sinab ko'rishimiz mumkinligini bilamiz.
Sinovni amalda qo'llashdan oldin har doim ma'lum bir seriyali test shartlarini tekshirish juda muhimdir. Ko'pgina talabalar ketma-ket test bilan yo'l qo'yadigan eng katta xatolardan biri bu test shartlariga javob bermaydigan seriyadagi testdan foydalanish va shu sababli noto'g'ri javob olishdir!
2-qadam
Keling, avval ushbu qator yaqinlashadimi yoki ajraladimi, degan oqilona taxmin qila olamizmi, bilib olaylik.
Yetarlicha katta \(n\) uchun biz bilamizki, suratdagi \(2{n^2}\) (kvadrat atama) numeratorning \(4n + 1\) (chiziqli had) qismiga qaraganda ancha tezroq oshadi. Shuning uchun suratning \(2{n^2}\) qismi, ehtimol, suratning harakatini aniqlaydi. Xuddi shunday, maxrajdagi "+9" katta \(n\) uchun maxraj hajmiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun atamalar quyidagicha harakat qilishi kerak:
\[{b_n} = \frac{{\sqrt {2{n^2}} }}{{{n^3}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{{n^2}}}\]Shuningdek, biz bilamizki, serial,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sqrt 2 }}{{{n^2}}}} \]\(p\) seriyali test (\(p = 2 > 1\)) orqali birlashadi.
Shuning uchun, muammo bayonotidagi seriyalar ham birlashishi mumkinligini taxmin qilishimiz mantiqiy.
3-qadam
Shunday qilib, biz ketma-ketlik yaqinlashadi deb taxmin qilganimiz uchun, biz biladigan yoki isbotlashi mumkin bo'lgan kattaroq shartlarga ega bo'lgan qatorni topishimiz kerak.
Shuni ham yodda tutingki, biz yangi turkum atamalari haqiqatan ham muammo bayonidagi seriyadagi shartlardan kattaroq ekanligini isbotlashimiz kerak. Biz shunchaki kattaroq bo'lishiga "umid qila olmaymiz".
Bunda masalaning gaplari qatoridagi atamalar ratsional ifoda bo‘lgani uchun biz bilamizki, qator hadlarni kattalashtirish yoki ayiruvchini kattalashtirish yoki maxrajni kichik qilish orqali mumkin.
Ammo hozir bizda muammo bor. Sinab ko'rish kerak bo'lgan aniq narsa - oxirgi ikki a'zoni suratga va oxirgi hadni maxrajga tushirish. Ammo buni qilish quyidagi tengsizliklarni beradi,
\[2{n^2} < 2{n^2} + 4n + 1\hspace{0.5in}{n^3} + 9 > {n^3}\]Bu haqiqiy muammoga olib keladi! Agar biz surat uchun tengsizlikdan foydalansak, biz kichikroq ratsional ifodaga ega bo'lamiz va agar biz tengsizlikni maxraj uchun ishlatsak, biz kattaroq ratsional ifodaga ega bo'lamiz. Bu ikkalasini bir vaqtning o'zida ishlatib bo'lmaydiganligi sababli, bu taqqoslash testidan foydalanishni ancha qiyinlashtiradi, chunki hech biri alohida-alohida biz tezda hal qila oladigan seriyalarni bermaydi.
4-qadam
Shunday qilib, taqqoslash testi bu holatda oson ishlamaydi. Bu deyarli sinab ko'rish uchun Limit taqqoslash testini qoldiradi. Ushbu test faqat ijobiy shartlarni (bizda mavjud) va ikkinchi seriyani talab qiladi, biz ishonchimiz komilki, biz konvergentsiyani bilmoqchi bo'lgan seriyalar kabi harakat qiladi. Shuni ham yodda tutingki, Limit taqqoslash testi uchun biz ikkinchi seriya uchun shartlar muammoli bayonot seriyasi shartlaridan kattaroq yoki kichikroq bo'lishi biz uchun ahamiyatsiz.
Agar o'ylab ko'rsangiz, bizda allaqachon kerakli narsa bor. 2-bosqichda biz muammoli bayonotlar seriyasining yaqinlashuvini taxmin qilish uchun ikkinchi qatordan foydalandik. Yangi seriyadagi shartlar ijobiy (bu bizga kerak) va biz uning muammoli bayonot seriyasi kabi harakat qilishiga ishonchimiz komil.
Shunday qilib, chegarani taqqoslash testi uchun zarur bo'lgan chegarani hisoblaylik.
\[\begin{align*}c & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {{a_n}\frac{1}{{{b_n}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{\sqrt {2{n^2} + 4n + 1} }}{{{n^3} + 9}}\,\,\frac{{{n^2}}}{{\sqrt 2 }}} \right]\\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{n^2}\sqrt {{n^2}\left( {2 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} }}{{\sqrt 2 \,{n^3}\left( {1 + \frac{9}{{{n^3}}}} \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{{n^2}\left( n \right)\sqrt {2 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{\sqrt 2 \,{n^3}\left( {1 + \frac{9}{{{n^3}}}} \right)}}} \right] = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1\end{align*}\]5-qadam
Mayli. Endi bizda \(0 < c = 1 < \infty \) bor, i.e. \(c\) nol yoki cheksizlik emas, shuning uchun Limit taqqoslash testi orqali ikkala qator bir xil yaqinlashuvga ega bo'lishi kerak. Biz 2-bosqichda ikkinchi qator yaqinlashishini aniqladik va shuning uchun muammo bayonida berilgan qatorlar ham kerak birlashish.
Taqqoslash testida ehtiyot bo'ling. Ko'pincha talabalar ikkinchi qator atamalari to'g'ri munosabatda bo'lishiga umid qilib, kattaroq yoki kichikroq "majburlash" ga harakat qilishadi (i.e. katta yoki kichikroq) muammoli qator shartlariga. Muammo shundaki, bu ko'pincha noto'g'ri javobga olib keladi. Seriya atamalarining kattaroq/kichikligini har doim isbotlashdan ehtiyot bo'ling va agar siz to'g'ri kattaroq/kichikroq xarakterdagi ketma-ket atamani ololmasangiz, chegara solishtirish testiga murojaat qilishingiz kerak bo'lishi mumkin.